2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K03597
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
加納 幹雄 茨城大学, 理工学研究科(工学野), 名誉教授 (20099823)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 虹全域木 / 彩色全域木 / 平面上の多色点集 / グラフの因子 / 平面上の虹多角形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
辺着色されたグラフＧにおいて、もし最小色次数が|G|/2以上であれば彩色全域木が存在する。さらにこの最小色次数の条件の他に補助的な条件を加えれば虹全域木が存在することも示した。この結果を次のように拡張し、また別の展開をした。まず、最小色次数の条件を、隣接する2点の色次数の和が|G|以上であるという条件に緩和することを試みた。これには簡潔できれいな証明が得られ、論文も今年度出版された。別の展開としては、辺着された２部グラフＧにおいて、もし最小色次数が|G|/3 以上であれば彩色全域木が存在すること、さらにこの最小色次数のほかに補助的な条件が満たされればGに虹全域木が存在することを示した。これは論文としてまとめて投稿中である。なお、最小色次数|G|/3は最善であることもわかっている。
辺着色された完全グラフの彩色全域木については、いろいろな状況がわかってきたが、解決にはまだ時間がかかりそうである。コロナの影響で１週間程度の顔を合わせた共同研究ができないことが一つの理由と考えている。例年の状況であれば、このような共同研究を行うことにより進展していることが期待される。
平面上のｎ色の点集合に対して、各色の点を丁度１個含む多角形について研究した。簡単な議論により、平面上に赤点の集合、青点の集合、黄色点の集合、緑点の集合が与えられると、各色の点を境界線上または内部に丁度１個含む４角形が存在することがわかる。この４角形は凸になるとは限らない。この問題はｎ色の点集合X1. X2, ..., Xn に拡張することができるが、これについて各種の結果を得たので論文として発表した。その証明において幾何的木が重要な役割を果たしている。
課題と関連したグラフの因子についてもいくつかの結果を得たので論文として発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
辺着色されたグラフにおける虹全域木や彩色全域木については、いくつか研究成果が得られ論文が出版された。一方、辺着された完全グラフの彩色全域木問題のように未解決の問題もあるが、これらの進捗状況は悪い。その理由はコロナのため顔を合わせた議論がほとんどできないことが大きな理由の一つである。On-line の議論を全日することはできず、限界がある。
グラフの全域木TをStem(T)を用いて特徴づける問題については、論文にまとめて発表するだけの研究成果は得られていない。これも海外の共同研究者と１週間程度の顔を合わせた議論ができないことが一つの理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
辺着色された完全グラフKnにおいて、もし最小色次数が n/3以上なら彩色全域木が存在することを予想しているが、この解決が一つの目標である。関連してグラフの因子のついても研究したい課題がある。
平面上の多色点集合に関連する問題としては、円周上にそれぞれ３ｎ個の点からなる４色の点集合が与えらとき、２つの区間ＩとＪをうまくとると、I∪Jに各色の点がｎ個ずつ含まれるようにできるという予想を得た。これを解決することが別の目標である。一方、この問題はオーストリアとスペインの研究者と共同研究をしている途中であるが、新型コロナウイルスの影響により、顔を合わせた議論ができず研究上の妨げになっている。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で海外への出張ができなくなり、また国内の研究集会がすべてOn-line になった。さらに非常事態宣言の出ている地域への移動の制限があり、共同研究もほとんどできなくなった。そのため旅費に未使用が生じた。次年度においては。旅費への追加の他パソコンの更新など機材の購入に経費を使用する。
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