2023 Fiscal Year Annual Research Report
Large cardinals, determinacy, and the analysis of the Chang+ model
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19K03604
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
池上 大祐 芝浦工業大学, 工学部, 准教授 (20747208)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 数理論理学 / 集合論 / 巨大基数公理 / 無限ゲームの決定性 / 記述集合論 / 決定性公理 / 実数の集合の正則性 / 選択公理を仮定しない強制法理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、自然数を一般化した無限の数・無限基数と、チェス・囲碁・将棋といった二人でプレーするボードゲームを一般化した無限ゲームの関係について考察する。本研究はNam Trang助教との共同研究である。
2023年度は、９月に海外の大学へ移籍したこともあり、本研究課題について特筆すべき研究成果は得られなかった。
研究期間全体を通じて実施した主な研究の成果としては、以下を証明した：
i) ω_1 が超コンパクト基数であるとき、a) 従属選択公理が成り立つ、b) Chang モデルに属する実数の集合はすべてルベーグ可測になる、c) ススリンな実数の集合はすべて弱一様ススリンになる、d) 任意の集合Xに対してX# が存在すること、e)「集合論のモデル L(R) において決定性公理が成り立つ」という命題が V のどの強制拡大でも成り立つ、ii) 決定性公理を強めた実数決定性公理を仮定したとき、実数直線上のσ-イデアルIで強制法P_IがプロパーとなるどんなIに対しても、実数の集合はすべてI-regularとなる、iii) ZF+ADを仮定すると、実数直線上のどんな非自明な順序集合による強制拡大もADのモデルにならない、iv) ZF+AD^+ +V=L(P(R))を仮定し、順序数Θが正則基数であるとする。このとき、Θ上の順序集合で、新しいΘの部分集合を付加し、ADを保存するものが存在する、v) c.c.c.という順序集合の基本的な性質を一般化するuniformly narrowという概念を導入し、選択公理を仮定しないZFの下で、uniformly narrowなどんな順序集合も基数を保存し、uniformly
narrowな順序集合たちの有限台反復強制法が再びuniformly narrowとなる。
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