2019 Fiscal Year Research-status Report

A study of combinatorial problems caused by the crossing of chords

Research Project

Project/Area Number	19K03607
Research Institution	Shonan Institute of Technology
Principal Investigator	中上川友樹湘南工科大学, 工学部, 教授 (20386890)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2022-03-31
Keywords	コードダイアグラム / Genocci数 / トレミーの定理 / オイラー数 / Tutte多項式
Outline of Annual Research Achievements	弦の集合について，どの２つの弦もその端点を共有しないとき，その集合をコードダイアグラムと呼ぶ．また，互いに交差する n 本の弦からなるコードダイアグラムを n-交差と呼び，Cn と書く．さらに 2-交差を含まないコードダイアグラムを非交差と呼ぶ．コードダイアグラム E が 2-交差 {xz, yw} を含むとする．このとき， E の S についての展開とは，E を新たな２つのコードダイアグラム E1 = (E-S)∪{xw, yz} と E2 = (E-S)∪{xy, zw} に置き換えることである．あるコードダイアグラム E から出発し，次々と展開を繰り返すことにより，非交差コードダイアグラムまで展開し尽くすことができる．このとき，最終的に生成される非交差コードダイアグラム全体の重複集合は，展開の仕方に依らず E のみで決まるので，それを NCD(E) と書く． NCD(E) の位数をEの展開数と呼ぶ． 2019年度の主要な研究は以下の通りである．与えられたコードダイアグラム E と非交差コードダイアグラム F に対して，F の NCD(E) における重複度 m(E,F) を調べた．m(E,F) は E を展開したときに生成される F の個数である．非交差コードダイアグラム F の弦 e について，e の少なくとも一方の側に他の F の弦が存在しないとき，e を耳という．すべての弦が耳であるような位数 n のコードダイアグラムを n-ネックレスと呼び，Nn と書く．定理．数列 m(Cn, Nn) は，n が奇数のとき Genocchi 数，n が偶数のとき median Genocchi 数に一致する．ここで，Genocchi 数および median Genocchi 数はよく知られている数列であり，ある種の置換の個数を表すことが知られている．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 2019年度については，与えられたコードダイアグラム E と非交差コードダイアグラム F について，重複度 m(E,F) に関する研究課題に注力した．結果として E を n-交差，F を n-ネックレスとした場合に，m(E,F) の値が，Genocchi 数および median Genocchi 数に対応するという事実を明らかにすることができた．この事実を中心とする諸結果について，国際会議（27th British Combinatorial Conference）および国内会議（2019年度応用数学合同研究集会）で発表した．その後，一般の E について，F を n-ネックレスとした場合に，m(E,F) の値が，E から定まるある多項式における特定の項の係数に対応することがわかった．また，この値は E から定まるある均衡２部グラフにおける完全マッチングの数に等しいこともわかった．これらの結果については，研究論文としてまとめ，現在，論文誌に投稿中である．
Strategy for Future Research Activity	2020年度では次の２点に注力する予定である． (1) 弦の展開の重複度について 2019年度において重複度 m(E,F) に関して，特に F が n-ネックレスの場合に進展がみられた．しかしながら重複度については未だ解明されていないことが多く，引き続き研究を進める．特に，一般の非交差コードダイアグラム F に対する重複度の性質を研究していく． (2) 弦の展開操作の一般化について従来は，展開操作の定義として，与えられたコードダイアグラムに含まれる 2-交差に対して，それらを2本の非交差な弦に置き換えることを考えてきた．最近，自然数 k に対して，与えられたコードダイアグラムに含まれる k-交差の展開操作も自然に定義できるのではないかと考え始めている．この操作は豊かな意味を持ちうるものかを今後検証していく．また，他の意味での一般化を考えることも可能であり，今後の検討課題である．
Causes of Carryover	2019年度の主要な支出としては，国際会議（１回：イギリス）出席のための旅費および発表と資料整理用のノートＰＣ購入のための物品費である。約４万円が残額として生じたが，次年度での主として国際会議出席のための出張旅費として有効活用することを計画している．
Remarks	研究テーマおよび研究業績のリストなどを掲示