2020 Fiscal Year Research-status Report

A study of combinatorial problems caused by the crossing of chords

Research Project

Project/Area Number	19K03607
Research Institution	Shonan Institute of Technology
Principal Investigator	中上川友樹湘南工科大学, 工学部, 教授 (20386890)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2022-03-31
Keywords	コードダイアグラム / トレミー重み / トレミー関係式 / 三角形分割
Outline of Annual Research Achievements	あるコードダイアグラム E から出発し，弦の展開操作を次々と繰り返すことにより，E を根とし，展開途中の各コードダイアグラムを頂点とする２分木が生成される．このとき，２分木の葉として現れる非交差コードダイアグラム全体の重複集合は，展開途中における2-交差の選び方によらずE のみで決まる. この重複集合をNCD(E)と書く．また，重複集合としてのNCD(E) の位数f(E)をE の展開数と呼び，f(E)と書く．本研究の目的は，NCD(E)の様子を知ることであるが，ここでトレミー重みを導入する．各弦e に対して，重みw(e)が与えられているとする．円周上にこの順に並んでいる任意の4 点a, b, c, d について，トレミー関係式 w(ac)w(bd) = w(ab)w(cd) + w(ad)w(bc) が成り立つならば，w をトレミー重みと呼ぶ．本研究では，トレミー重みを利用してNCD(E)を研究し，次の結果が得られた． 1. 展開の単射性：与えられたコードダイアグラムE に対して，E から展開される非交差コードダイアグラムの重複集合NCD(E)は一意に定まるが，この対応は単射である． 2. m(E,Nn)とある均衡2部グラフの完全マッチングの個数との対応：一般のコードダイアグラムE に対して m(E,Nn)は，対応する均衡2部グラフの完全マッチングの個数と等しい．ここでNnはn-ネックレスと呼ばれるコードダイアグラムである． 3. m(E,F)と三角形分割に付随するトレミー重みとの関係：T は三角形分割とし，wT をT に付随するトレミー重みとする．コードダイアグラムE と非交差コードダイアグラムF について，F⊂E(T)ならば，m(E,F)はローラン多項式wT(E)に含まれる単項式wT(F)の係数に一致する．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 2020年度では，一般のコードダイアグラム E と非交差コードダイアグラム F について，重複度 m(E,F) の値が，E から定まるあるローラン多項式における特定の項の係数に等しいことを示すことができた．この多項式は，凸多角形に付随するクラスター代数において表れるものとして知られている．また，この結果を示す課程においてトレミー重みを積極的に用いることが重要であることもわかった．これらの結果を中心とする諸結果について，国内会議（2020年度応用数学合同研究集会）で発表した．今後，国際会議でも発表予定である．その後，弦の展開操作の操作対象をコードダイアグラム（異なる弦の端点は重複しない）から幾何グラフ（異なる弦の端点は重複していてもよい）に拡張することができることがわかった．この拡張された場合でも，いくつかの性質についてはコードダイアグラムの場合と同様なことが成り立つ．しかしながら，例えばコードダイアグラムの場合には，与えられたコードダイアグラムの展開数がタット多項式のある値で表されるのに対して，幾何グラフの場合にはそのような対応は知られていない，など，まだその性質に関しては未解決な問題も多い．
Strategy for Future Research Activity	2021年度では次の２点に注力する予定である． (1) 弦の展開の重複度について 2020年度において重複度 m(E,F) に関して，一般の非交差コードダイアグラム F に対する重複度の性質に進展がみられた．これについては現在論文としてまとめているところである． (2) 弦の展開操作の一般化について従来は，与えられたコードダイアグラムに含まれる 2-交差に対して，それらを2本の非交差な弦に置き換えることを繰り返して、非交差コードダイアグラムの重複集合を生成することを考えてきた．ここで重要な事実は，2-交差の選び方によらず，この非交差コードダイアグラムの重複集合が一意に定まることである．操作対象をコードダイアグラム（異なる弦の端点は重複しない）から幾何グラフ（異なる弦の端点は重複してもよい）に拡張しても，この一意性は依然として成り立つ．展開された非交差幾何グラフの重複集合の性質を調べることが今後の課題である．
Causes of Carryover	当科研費の主要な支出費目としては旅費を予定していた．しかしながら2020年度に参加を予定していた国際会議（開催国：イタリア）がコロナ禍により１年延期になったため，次年度使用額が生じた．当該の国際会議は2021年度においても再延期が決定しており，別の国際会議（開催国：イギリス，オンライン）へ参加申し込み予定である．さらに旅費が必要となる別の国際会議への参加も検討しているが，コロナ禍のため実現するかどうかは未定である．