2021 Fiscal Year Research-status Report

量子ウォークのモデル間における相互複写可能性と長時間極限定理の研究

Research Project

Project/Area Number	19K03625
Research Institution	Nihon University
Principal Investigator	町田拓也日本大学, 生産工学部, 講師 (20637144)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords	量子ウォーク / 極限定理 / 複写可能性
Outline of Annual Research Achievements	令和3年度は、査読付学術論文を1本出版した。「Phase transition of an open quantum walk, Takuya Machida, International Journal of Quantum Information, Vol.19, No.6, 2150028 (2021)」では、開放系離散時間量子ウォークの時間拡散オーダーについて解析を行った。開放系量子ウォークは、量子ウォークとは異なり、古典的な性質がしばしば観察される。開放系量子ウォークに対する長時間極限定理の研究結果は、量子ウォークに比べると少なく、未知な部分も多く残っている。この論文では、開放系量子ウォークの新しい性質を発見することも目標にしている。量子ウォークに１次元格子上で定義されるウォーカーは、局在化状態を初期状態として与えられ、時間発展を繰り返す。時間発展作用素は、あるパラメタで特徴づけられる。数値計算を用いて、ウォーカーの確率分布（各場所にウォーカーを観測するための確率分布）を観察すると、時間発展作用素のパラメタの値によって、確率分布が時間に対して拡散的（diffusive）あるいは弾道的（ballistic）に拡がっていくことが分かった。つまり、パラメタの値によって時間対する確率分布の拡散オーダーが変わる。これを数学的に証明するために、フーリエ解析を用いて確率分布の標準偏差の時間変化を解析した。さらに、それらの解析結果をまとめ、長時間極限定理を導出した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason １次元格子上の開放系離散時間量子ウォークにおいて、時間に対する確率分布の拡散オーダーが時間発展作用素のパラメタによって変化することを証明した研究成果は、論文にまとめられ国際雑誌に投稿された。査読を受けた後、2021年10月に国際雑誌 International Journal of Quantum Information から出版された。コロナウィルスの影響で2021年8月と2022年3月に予定していたUniversity of Californiaの数学科を訪問して、F. Alberto Grunbaum教授と研究議論を行う計画はキャンセルしたが、研究はおおむね順調に進展しているといえる。
Strategy for Future Research Activity	今後は、高次元系あるいはグラフ上の量子ウォークモデルの間にある複写可能性を研究するために、理論と計算機を用いてモデルを構成し、確率分布の極限定理導出を目指して研究を進めていく。モデルの構成や量子ウォークの解析には、数式ソフトウェアやコンピュータープログラミングも利用して、その数値計算結果をもとに理論計算に移行していく予定である。研究対象とする量子ウォークモデルの構築は、数学的な視点からだけでなく、量子物理学の視点からも行う。そのために、数学だけでなく物理学の論文や専門書も調査し、関連する先行研究から情報を集めながら研究を進めていく。高次元系あるいはグラフ上の量子ウォークモデルにおいて、モデル間の複写可能性を見つけることができた場合、これまでに行ってきた解析同様に、フーリエ解析を用いて長時間極限定理の導出を試みる。本研究を進めるためにアドバイスが必要な場合、量子ウォークや量子物理学の専門家と議論を行う。コロナウィルスの状況が改善され次第、University of Californiaの数学科を訪問して、研究を進めるための議論をF. Alberto Grunbaum教授と行いアドバイスを得る。研究進捗状況や成果は、国内外の研究集会に参加して発表する。得られた結果は、論文にまとめて国際雑誌に投稿する。同時に、ホームページ上で周知するなどして発信する。
Causes of Carryover	コロナウィルスの影響で、2021年8月、2022年3月に予定していたUniversity of California Berkeleyの数学科への研究訪問を行うことができなかった。次年度以降の研究出張に充てる。計算機の購入を行わなかったため。計算機の購入に使用する。