2020 Fiscal Year Research-status Report
A billiard problem arising from self-propelling particles
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19K03626
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
SINCLAIR Robert 法政大学, 経済学部, 講師 (50423744)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 自己駆動粒子 / 数理モデリング / ビリヤード問題 / 力学系 / 微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は境界と反発的に相互作用する単一の自己駆動粒子のビリヤード的運動の理解を目的としている．本研究の対象は非線形散逸系であり，古典的ビリヤード問題とは全く異なる挙動が生じる．本研究は特に水面に浮かぶ樟脳円板の運動を動機づけとして，考察対象とする空間スケールに応じて偏微分方程式モデル・常微分方程式モデル・離散力学系モデルといったいくつかの階層の数理モデルを通じて研究を行っている．偏微分方程式モデルに対する擬スペクトル法を初年度に実装したが，これに基づくシミュレーションにより，偏微分方程式モデルにおいても矩形領域のアスペクト比に依存したアトラクタの遷移が生じうることがわかってきた．これにより，[Miyaji, Physica D(2017)]において常微分方程式モデルに対して見出したアーノルドの舌構造を実験・偏微分モデル・常微分モデルを通じて議論することが期待される．しかし，漸近挙動を議論できるほどの精度を達成できておらず，解の追跡と分岐の観点から研究するにはより良い実装を行う必要がある．一方，常微分方程式モデルに対して運動速度が0の極限において，形式的な計算ではあるが，ハミルトン力学系による近似を見出した．これは入射角＜反射角なる反射規則に対する理解の糸口となることが期待される．運動が低速であることは偏微分方程式モデルから常微分方程式モデルへの縮約における仮定でもあり，数理モデリングの観点からも意義があるため，この低速極限における常微分方程式モデルの解析を進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
常微分方程式モデルにおける低速極限の研究を糸口として，反射規則の理解に進展があったため，おおむね順調に進行しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度となる今年度は，常微分方程式モデルにおける低速極限の研究を進め，入射角と反射角の関数関係を見出したい．また，このアプローチは未解決であった一般のパラメータの場合における入射角＜反射角の証明のヒントを与えると考えられる．シンクレアは計算代数や可積分系の観点から低速極限における数理モデルを見出し，宮路は常微分方程式の解析によって数学・数理解析的理論構築を担う．今年度はこれまで以上に密にemailやオンライン会議での研究打ち合わせを行いながら，一つの反射壁をもつ常微分方程式モデルにおける反射規則についての理論を整備し，論文としてとりまとめたい．
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| Causes of Carryover |
旅費として計上していた経費はコロナ禍のため執行することができなかった．また，計算機環境の整備や計算機関連の消耗品購入を安価に抑えることができたことが理由として挙げられる．2021年度中にコロナ禍が終息し出張が可能となれば，研究打ち合わせや学会参加等のための旅費としての使用を計画する．
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