A billiard problem arising from self-propelling particles

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03626
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): SINCLAIR Robert 法政大学, 経済学部, 客員教授 (50423744)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 自己駆動粒子 / 数理モデリング / ビリヤード問題 / 力学系 / 微分方程式 / 数値シミュレーション

Outline of Annual Research Achievements

領域境界と反発的に相互作用する単一の自己駆動粒子の反射運動に焦点をあて，入射角と反射角の関係を研究した．特に，前年度までに得た低速極限における常微分方程式系に対する形式的な解析により，入射角と反射角の関数関係を見出した．その関数はそのままでは粒子モデルのシミュレーションを反映しない．ところが，係数を調整すると精度が向上することを発見した．粒子モデルのある種のスケール不変性を手掛かりにして，その係数の粒子モデルのパラメータへの依存性を見出し，多倍長浮動小数点数演算を援用した網羅的な数値実験によって，低速極限における入射角と反射角の関数関係についてのConjectureとそれを支持する数値実験結果を得ることができた．本研究以前には理論的な結果としてはあるパラメータ条件のもとでの入射角＜反射角という不等式か，離散力学系モデルで用いるには数値シミュレーション結果を補間するしかなかったが，極限とはいえその関数をclosedな形で初めて予想できたことにより，理論のさらなる発展が促されると期待している．
上記に関連して，一般のパラメータにおいて粒子の反射が起こることのより精密な証明を与えた．正方形領域における粒子の運動を記述する常微分方程式モデルの平衡点に対して群論的分岐理論に基づく分岐解析を行い，分岐するリミットサイクルのタイプと安定性を決定した．また，正方形領域または矩形領域における離散力学系モデルに対する比較的単純な極限周期軌道（矩形，平行四辺形，8の字）についてその存在と安定性の条件を明らかにした．これらを通して，非線型・非平衡系におけるビリヤード問題の理論の整備を図っている．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

その成果発表までは至らなかったが，角度関係の予想を得るなどの進展があったため，おおむね順調に進展していると言える．

Strategy for Future Research Activity

本研究目的をより精緻に達成するため，補助事業期間を延長した．本年度は非線型・非平衡系におけるビリヤード問題の理論・数値実験をとりまとめ，学会での研究成果発表や論文投稿等により研究成果の発信を行う．

Causes of Carryover

成果発表を行う前に，見出した入射角・反射角の関数関係に関する予想を検証する数値実験に集中する必要があった．本年度は学会発表や論文，書籍等で成果発表を行うため，出張旅費や英文校閲費用，論文投稿費用に使用する計画である．