study on discrete point sets to produce new applications of lattice theory and algebraic computation

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03628
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: Ryoko Tomiyasu 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30518824)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: パッキング生成 / 点群生成 / マルコフ理論 / 数の幾何 / 応用代数 / 応用数学

Outline of Final Research Achievements

We succeeded in obtaining a generalized golden angle method that is applicable to general surfaces and general dimensions, which was recently raised as an open problem by researchers. The packing densities are bounded below by about 0.7 for surfaces and 0.38 for 3D bodies. After the success, we conducted investigations on diagonalized metrics on Riemannian manifolds and the existence of solutions and construction of exact solutions of a partial differential equation system, to implement a code for point cloud generation. We also conducted research on algebraic and analytic number theory related to the representations of ternary positive definite quadratic forms on Z and the representations of sums of heptagonal numbers. We also had the opportunity to develop applications of lattice basis reduction theory to several problems in crystallography.

Free Research Field

応用代数・数論、数理結晶学、アルゴリズム

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

黄金角の方法が回転体表面の形成する魅力的なパターンは一般によく知られているが、我々の研究で、その重要な性質を保ったまま、一般曲面・一般次元にも同様の点群生成を行えることが示された。数論の応用になっており、一般層への宣伝、その具体的な応用開発は、これから行う予定である。3変数正定値2次形式、7角数に関わる整数論の研究については、応用で言及されることは少ないが、粉末回折と密接な関係がある。格子基底簡約理論の方は、ab-initio indexingやその後処理の観測誤差下でのブラベー格子決定などの処理が結晶学分野の基盤として有用であることは、論文の引用数からも示されていると思われる。