Application of interior penalty methods to mixed finite element method using nonconforming elements

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03630
• Research Institution: The University of Electro-Communications
• Principal Investigator: 小山 大介 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 助教 (60251708)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 有限要素法 / 混合法 / 非適合要素 / 内部ペナルティ法 / 重調和方程式

Outline of Annual Research Achievements

重調和方程式の境界値問題に対する非適合要素を用いた混合型有限要素法として、Herrmann-Johnson法と呼ばれる方法(以下、HJ法と呼ぶ)がある。HJ法は応力と変位に対する近似解を得る方法である。本研究では、HJ法に内部ペナルティ法(Interior Penalty Method)を適用して得られる方法(以下、IP法と呼ぶ)について下記のような結果を得た。

まず、重調和方程式の境界値問題を考える領域の三角形分割の正則な族を考える。その族の各三角形分割はメッシュサイズh(0<h<1)を持つものとする。各三角形分割において、IP法で得られる近似解は、IP法で用いられるペナルティ・パラメータaを無限大にした際に、HJ法で得られる近似解に収束することが知られている。
本研究では、この収束がメッシュサイズhに関して一様であることを、IP法とHJ法のそれぞれで得られる近似解の間の誤差評価を導出することにより示した。また、この誤差評価を用いることにより、IP法による応力の近似解のメッシュサイズhに関する収束率がHJ法のそれと同様になるためのペナルティ・パラメータaの選び方を与えた。この選び方は、変位および応力のそれぞれの近似に1次多項式および0次多項式を用いる際には、a=O(1/h)となり、Huangらが与えた選び方a=O(1/h^2)より良い選び方となる。実際、ペナルティ・パラメータが小さい方が、連立一次方程式を共役勾配法で解く時には、その反復回数が少なくなり、計算時間が短くなるので、ペナルティ・パラメータをa=O(1/h)と選んだ方がa=O(1/h^2)と選ぶよりも有効である。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

当初計画では，2019年度中に研究結果を論文にまとめ投稿するつもりでいたが，研究業績欄で示したように理論的結果は得られたものの，それを確認する数値計算を完了するには至らず，まだ論文をまとめていない状況である．
この遅れの理由は以下の通りである．
当初，ハイブリッド型のIP法について考察しており，その方法の利点を探っていたが，その利点を見出せなかった．そこで方針転換をし，ハイブリッド型で無いIP法を考察することにしたため，研究の進捗が遅くなってしまった．

Strategy for Future Research Activity

今後はまず重調和方程式に対して得られた理論的結果を確認する数値実験を行い，論文としてまとめ公表することを目指す．
その後は，ポアッソン方程式，線形弾性方程式に対して，重調和方程式に対して得られた理論的結果と同様のことが成り立つかを考察する．その後に，その理論的結果を確認する数値実験を行い，論文にまとめ公表することを目指す．

Causes of Carryover

少額の次年度使用額が生じたが，その少額を今年度に使用する必要がなかったため．