Application of interior penalty methods to mixed finite element method using nonconforming elements

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03630
• Research Institution: The University of Electro-Communications
• Principal Investigator: 小山 大介 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 助教 (60251708)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 非適合型有限要素法 / 内部ペナルティー法 / 重調和方程式 / 正定値対称行列の条件数

Outline of Annual Research Achievements

昨年度に引き続き，HJ法に内部ペナルティー法を適用した方法（IP法と呼ぶ）に関して，今年度は下記のような結果を得た：
昨年度，理論的に，IP法による応力の近似解のメッシュサイズhに関する収束率がHJ法による収束率と同様になるためのペナルティ・パラメータaの選び方を与えた．この選び方は，変位および応力のそれぞれの近似にk次多項式およびk-1次多項式を用いる際には，a=O(h^(-k))となる．
本年度は，まず，k=1, 2の場合に，前述の選び方を用いて実際に数値計算を行い，応力の近似解のメッシュサイズhに関する収束率がHJ法による収束率と同様になることを確認した．
次に，IP法で近似解を求める方法として，双対問題（変位に関する連立一次方程式）に共役勾配法を適用し，その内部反復に現れる正定値対称行列を係数行列とする連立一次方程式にも共役勾配法を適用する方法を考え，以下の考察をした：
内部反復に現れる正定値対称行列の条件数Condが，任意のa>0に対して，ca <= Cond <= Caとなることを示した．ここで，c, Cはaに依らない正定数である．この不等式は，ペナルティ・パラメータaが大きくなるほど，その正定値対称行列に関する連立一次方程式を共役勾配法で解く際に反復回数が増える，すなわち，計算時間が長くなること示唆している．よって，k=1の場合に，メッシュサイズhが小さい時には，ペナルティ・パラメータを本研究で導出した選び方a=O(1/h)で選んだ方がHuangらが与えた選び方a=O(1/h^2)で選ぶよりも有効であることが理論的にも裏付けられたことになる．

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

2020年度中に研究結果を論文にまとめ投稿するつもりでいたが，研究業績欄で示したように、双対問題（変位に関する連立一次方程式）における内部反復に現れる正定値対称行列の条件数については理論的結果が得られたものの、双対問題の係数行列となる正定値対称行列の条件数のペナルティー・パラメータによる解析的評価を得るのに試行錯誤している状況である。

研究の遅れの理由としては、２０２０年度は、大学の講義がオンライン授業となり、学生に理解しやすいオンライン授業教材を作ることを第一に勤務時間を費やしたため、研究時間が十分に確保できなかったためである。

Strategy for Future Research Activity

今後はまず双対問題の係数行列となる正定値対称行列の条件数のペナルティー・パラメータによる解析的評価を導出し、論文としてまとめ公表することを目指す．
その後は，ポアッソン方程式，線形弾性方程式に対して，重調和方程式に対して得られた理論的結果と類似の結果が得られるか考察し，その理論的結果を確認する数値実験を行い，論文にまとめ公表することを目指す．

Causes of Carryover

２０２０年度はほとんど在宅勤務であり、研究室内の設備を購入する必要がなかった。また、研究集会などもオンラインで行われていたため、旅費も必要なかった。２０２１年度は、２０２０年度に計画していた物品なども購入する予定である。