2019 Fiscal Year Research-status Report
極大単調作用素の零点問題に関する新たな理論構築の研究
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19K03632
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
茨木 貴徳 横浜国立大学, 教育学部, 教授 (90345439)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 極大単調作用素 / リゾルベント作用素 / 零点問題 / 近接点法 / 非拡大型非線形写像 / 不動点近似法 / ヒルベルト空間 / バナッハ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は, 近接点法で用いられる極大単調作用素の逆像から生成されるリゾルベント作用素の正確な値をどのように求めるか？ということにある．先行研究であるChidumeによるバナッハ空間における研究では「具体的に求めるのが難しい関数を用いた点列構成」と「単調作用素でなく増大作用素を用いている」という２つの課題があった．本年度の研究実施計画の第一は「先行研究での２つの課題の解決の検討」，第二は「ヒルベルト空間における課題解決の可能性の模索」である．第一の計画では，誤差を利用した方法を改めて研究し”P型リゾルベントの零点問題に関する誤差付縮小射影法”と”Q型非拡大写像の共通不動点への誤差付縮小射影法”の2つの成果を得た．これらの研究において利用した「関数」が課題の一つであった”具体的に求めるのが難しい関数を用いた点列構成”に関して，2つの研究成果で用いられている「関数」が今回の研究に有用であり，大きなヒントになることがわかった．第二の計画に関しては，近接点法と非拡大型写像に関する不動点近似法は似た構造を持っておりお互いの手法を有効に活用できることが知られている．不動点近似法においは，写像の「非拡大性」が重要なキーワードとなってきており，「非拡大性」の研究をすることが近接点法の解決にも大きく役立って来ている．今回は非拡大性の条件を大きく緩和する研究を行い，これらの研究からヒルベルト空間における共通不動点近似法を得ることに成功した．この成果は投稿中である．また, 国際会議や国内の研究集会で参加することで, 関連する研究分野の研究者と広く議論することで近接点法の点列の構成方法に関する考察を行うことができた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現時点において, 研究の達成度は「おおむね順調に進展している」と評価できる. 初年度である今年度の一番の目標は「先行研究のヒルベルト空間およびバナッハ空間におけるリゾルベント近似法に関す課題解決」である．「研究実績の概要」にある通り，これまでの代表的な手法である誤差付の近似法を新ためて研究することで，先行研究の課題である「具体的に求めるのが難しい関数を用いた点列構成」の糸口がつかめた．また，バナッハ空間における単調作用素のリゾルベントを用いた研究であるため，単調作用素に関する研究の可能性も検証できた．さらに，ヒルベルト空間における非拡大型写像の共通不動点近似の成果より，ヒルベルト空間における近接点法の研究への足がかりとなる成果を得られたことにある．本結果の論文は査読付きの国際雑誌へ投稿中であるが十分に掲載受理になる内容であると確信している．本研究は直接の解明をすぐに行うのは難解であるがゆえ外堀から埋めて行くように徐々に解明を進めて行く必要がある. その観点でみると一定の進捗が見られていると言える.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の成果や考察を活かし，ヒルベルト空間における近接点法の理論の再構築と解明およびバナッハ空間における近接点法の理論の検討を目標として研究を進める．初年度に得た糸口や検証をきっかけに，ヒルベルト空間における先行研究の課題の解明を行う．その際には，構造のよく似た非拡大型写像の不動点近似も同時並行で研究を進め，さらに外堀を埋めていくように研究を進める．不動点近似法の研究においてはバナッハ空間への拡張を検討し，バナッハ空間における近接点法の研究への足がかりとするのが目的である．投稿中ではあるが既にヒルベルト空間における成果を得ているため，バナッハ空間への拡張も十分に期待できる．さらに, 今年度に引き続き国際会議及び国内の研究集会に積極的に参加し研究成果の発表を行う.その際には, 関連分野の国内外の研究者たちと幅広く意見交換および情報収集をおこなう予定である.
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| Causes of Carryover |
（理由）
2019年4月より研究代表者が所属先での学内業務の変化により，参加予定であった国際会議・研究集会に学内業務のため全日程に参加できず参加日程が短くなったためである．
（使用計画）
翌年度分として請求した助成金と合わせた研究計画は国際会議や国内研究集会への参加旅費，関連書籍の購入, 論文の投稿料・別刷代等にも使う予定である. ただし，学内業務との兼ね合いで参加する国際会議・国内研究集会は変更の可能性がある．
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