2020 Fiscal Year Research-status Report
Study on Applications of Backward Stochastic Differential Equations
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19K03636
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
関根 順 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (50314399)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 後退確率差分方程式 / 後退確率微分方程式 / 動的リスク尺度 / 弱時間整合性 / スパースグリッド / ランダムウォーク近似 / 部分積分公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１） 弱時間整合性を持つ動的リスク尺度を反射型後退確率差分方程式（時間が離散、状態は離散/連続）を用いて構成した。これは、理論的には重要だが実務的には「強すぎる」性質である強時間整合性を緩めた、理論・応用両面から意味深い結果であり既存研究の拡張にもなっている。結果の一部は共同研究者（大井崇史氏）の修士論文の中でまとめられた。
２）後退確率差分方程式（時間が離散、状態は連続）の近似的数値計算法として、値関数の補間と数値積分のために2種類のスパースグリッドを組み合わせて計算する手法を提案した。状態空間の次元が高くかつ値関数の滑らかさが保証されるときには有効な手法であると考えられる。数値実験を通してその有効性や適用限界を観察することができた。結果の一部は共同研究者（兼子晃寛氏）の修士論文の中でまとめられ、日本応用数理学会研究部会連合発表会にて報告された。現在英文論文準備中。
３） 前年度より継続の、多次元ブラウン運動を状態変数に持つマルコフ型後退確率微分方程式を、多次元結晶格子上のランダムウォークで駆動されるマルコフ型後退確率差分方程式で近似し、その近似誤差を(分布に関する)Wasserstein距離で評価する研究(田中章博、深澤正彰、安藤眞志氏との共同研究)について、近似誤差の次元に対する依存度を再計算した。これら進展分を含めて現在英文論文準備中。
４）多次元結晶格子上のランダムウォークに関する離散確率解析の整備を行った：多重確率積分、カオス分解、Clack-Ocone公式、Skolohod積分、部分積分公式について結果を得た。これらは1次元ランダムウォークに関する既存結果の拡張になっている。上記3)に関連した研究にも今後活かされていくことが期待される。結果の一部は共同研究者の修士論文（上野有祐氏）の中でまとめられた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画を部分的に変更し、（時間的にand/or空間的に）離散的な構造を持つ後退確率差分方程式の理論研究・応用研究の比重が高まった。(理由１）応用上/実務上は離散的な構造を持つモデル/方程式が重要である。例えば、動的リスク尺度の問題は、金融実務的には、1日ずつといった時間間隔でリスク量を計測することが多い。一方、連続的にリスクを計測する連続時間動的リスク尺度は、数学的にはきれいな構造を持つ研究対象だが、得られる結果は「シビア」過ぎて、リスク量を現実から乖離して大きく見積もり過ぎる欠点がある。今回は、このような欠点を改善するため、離散時間モデルを用いて、さらに大きい損失が生じるタイミングを計りこの時のみ厳しい基準を適用する「弱時間整合性」を持つ動的リスク尺度を、反射型後退確率差分方程式を用いて構成することに成功した。（理由２）連続時間後退確率微分方程式の数値計算を行う際も、時間・空間の離散化は必須となる。この見地から、スパースグリッド法を用いた後退確率差分方程式に関する空間離散化手法の研究には価値が認められる。さらに、この手法は上述の動的リスク尺度の数値計算にも活用できると期待される。一方、多次元結晶格子上ランダムウォークに関する「離散確率解析」の整備を行う研究は、これだけで独立した研究対象としての面白さも持つが、直接的には、今後、後退確率微分方程式のランダムウォーク近似を用いた数値解法を開発する研究にフィードバックされていくと考えている。すなわち、研究実績の欄に記した３）と４）は今後結びついて成果を産む可能性もあり、興味深いと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度得られた成果、すなわち、研究実績の欄に記載した成果１）～４）については、本年度専門雑誌投稿用の論文を作成する予定である。特に、以下の点についてさらなるブラッシュアップを目指すことを考えている。
１）反射型後退確率差分方程式（特に状態空間の次元が高いケース）に関する効率的数値解法の考察。反射型後退確率差分方程式で記述される具体例のさらなる提示。
２）後退確率差分方程式（時間が離散、状態は連続）のスパースグリッドを用いた近似的数値計算法の発展：ノイズ過程の一般化。具体例の数値実験をさらに発展させること。
３）多次元マルコフ型確率微分方程式の解を状態変数に持つマルコフ型後退確率微分方程式を、多次元結晶格子上のランダムウォークで駆動されるマルコフ型後退確率差分方程式を用いて近似する研究およびその誤差解析に関する考察。数値実験の実施。
４）多次元結晶格子上のランダムウォークに関する離散確率解析の応用として、このランダムウォークで駆動される後退確率差分方程式に関する考察を実施すること。特に、離散型Clack-Ocone公式、離散型部分積分公式を用いた解表現の考察。
さらに、連続時間離散状態マルコフ連鎖を状態過程に持つ後退確率差分方程式（特に状態空間が巨大であるケースを想定）の数値解法として、深層学習を組み合わせたいわゆる"Deep BSDE法"を開発する研究を実施する予定である。この研究に関しては、現在研究指導中の兼子彰寛氏（博士課程1年生）と共同で実施する予定である。理論的な側面からは誤差解析に関する結果を得ることを目指す。また応用上の側面としては、Deep BSDE法を巨大な次元を持つ常微分方程式のソルバーとして活用することを目指している。
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| Causes of Carryover |
・新型コロナ感染症の影響が続き、出張や研究者招へいを行えなかった
・前年度開催予定の国際研究集会を延期して開催する予定にしていたが、やはり新型コロナ感染症の影響により、開催が再延期された
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Research Products
(1 results)
