2020 Fiscal Year Research-status Report
複雑ネットワークにおけるフラクタル性と長距離次数相関
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19K03646
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
矢久保 考介 北海道大学, 工学研究院, 教授 (40200480)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小布施 秀明 北海道大学, 工学研究院, 助教 (50415121)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 複雑ネットワーク / フラクタル / 長距離次数相関 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までの研究によって、複雑ネットワークにおける「ハブ間反発」という性質には多様性があることが示された。このことは、フラクタル性と直接結びついたハブ間反発のタイプを解明する必要があることを示している。この問題を解決する目的で、令和2年度の研究では、スケールフリー性やクラスター性などを自由に制御できるフラクタル・スケールフリー・ネットワークの数理モデルを構築し、このモデルの構造的特徴やそこで起こる諸現象を解析的に調べる研究を行った。本研究で構築されたモデルでは、ルートノードと呼ばれる2つのノードが指定された小さなグラフ（ジェネレーター）が用意される。一本のエッジから始めて、各エッジをジェネレーターに置き換える操作を何度も繰り返すことにより、スケールフリー性とフラクタル性を合わせ持つネットワークが得られる。本研究では、そのスケールフリー指数やフラクタル次元、さらにはクラスター係数や隣接次数相関を決める同時確率や条件付確率を、ルートノードの次数、ルートノード間最短経路長、ジェネレーターのエッジ数やノード数等、ジェネレーターの特徴量を用いて解析的に導出した。長距離次数相関を特徴づける同時確率を解析的に求めることは困難であるため、これについては数値的に計算した。その結果、形成されたネットワークは非常に強い内因性長距離次数相関を有することが明らかとなった。さらに、構築されたネットワーク上のパーコレーション臨界点や各種臨界指数の解析的表式を得ることもできた。また、2つのルートノードが異なる統計的性質を有する非対称ジェネレーターを基礎グラフにした場合、得られる解析的表式がどのように変わるかについても調べられた。このモデルでもハブ間は互いに遠くに位置することになるが、そのハブ間反発が長距離次数相関のどのような性質として現れるかを多様なジェネレーターを用いて系統的に調べることができる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は、現実の複雑ネットワークの多くが少なくとも短いスケールではフラクタル構造を取ることの理由を探ることである。これまでにも自己組織化臨界性（SOC）によるフラクタル構造形成の機構は知られているが、現実ネットワークが必ずしもSOCを発現するようなダイナミクスに従わない事を考えると、我々の身の回りに遍在する多くのネットワークは他のメカニズムによりフラクタル性を獲得している可能性がある。令和2年度の研究で構築されたフラクタル・スケールフリー・ネットワークのモデルは、小さなグラフ・モティーフに基づく逆繰り込み的成長によってフラクタル性が生じる可能性を示唆している。少数の企業から成る企業間取引関係がより大きな企業間取引ネットワークの一部に組み込まれるなど、逆繰り込み的ネットワーク成長は現実世界でもしばしばみられる事象であることから、本モデルのような機構でフラクタル性とスケールフリー性がネットワーク内に現れる可能性は高い。このようなフラクタル性発現機構は研究計画当初は予定していなかったものであることから、研究は予定以上に進展していると言える。令和元年度に導入された新しい指標を本モデルに対して計算したところ、ネットワークには非常に強い内因性長距離次数相関があることが明らかになった。内因性長距離次数相関強度はジェネレーターの構造に依存していることから、ジェネレーターの取り方を変えることで内因性長距離次数相関強度を制御できるようになったことも予想を超えた成果の一つである。しかしながら、世界的な新型コロナウィルス感染拡大により、ほぼすべての国際会議・シンポジウムが中止となったため、これらの研究成果の発表はオンラインでの国際会議、国内学会、および論文投稿に限られてしまった。そのため、他研究機関の研究者との実りある議論を思うように進めることはできなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度である令和3年度には、令和2年度に構築したフラクタル・スケールフリー・ネットワーク（FSN）の新しいモデルを用いた系統的研究の継続と、本研究のもう一つの大きな目的である「長距離次数相関とネットワーク上のダイナミクスの関係解明」に関する研究を行う。前者の研究では、まず令和元年度に開発したハブ間反発指標とFSN形成で用いられるジェネレーター構造との関係を明らかにする。FSNの性質はジェネレーターの構造によって完全に決まるため、ジェネレーター構造を系統的に変えることで、形成されたFSNの性質とハブ間反発指標との関係を解明することができる。また、現実ネットワークのフラクタル性が、幾つかの小さなモティーフによる逆繰り込み成長によっても生じ得るという令和2年度の予想を確認するため、複数ジェネレーターによるエッジの確率的置換操作で得られるネットワークのフラクタル次元、スケールフリー指数、クラスター係数などの構造的特徴量を解析的に計算する。その上で、フラクタル性を有する現実ネットワークからモティーフを抽出し、これらからランダムに確率pで選ばれたモティーフにより既存エッジを置き換える操作を繰り返すことで大規模ネットワークを構築する。このネットワークと元のネットワークのフラクタル次元およびスケールフリー指数を比較することにより、令和2年度に立てた予想の成否を確認する。後者の長距離次数相関とネットワーク上のダイナミクスの関係解明に向けた研究では、ネットワークの頑強性と密接に関係するFSN上のパーコレーション問題と、ホタルの集団発光やニューロン発火など自然界の様々な場面で見られるネットワーク上の同期現象を取り上げる。両問題と隣接次数相関の関係はある程度理解されているが、最終年度での研究では、これらの現象が内因性長距離次数相関の強さとどのような関係にあるかを解明する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染拡大の影響を受け、参加する予定であった国際会議・国際シンポジウムが軒並み中止またはオンライン開催となり、旅費の支出額がゼロとなった。そのため、令和2年度の収支に残余が生じることとなった。令和3年度も国際会議等に参加する機会は大幅に制限されることが予想されるため、大規模な数値計算を実行することができるようにUNIX計算サーバーを備品として購入する予定である。
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