2019 Fiscal Year Research-status Report
Microscopic and hydrodynamics approaches to nonequilibrium statistical mechanical models
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19K03665
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
笹本 智弘 東京工業大学, 理学院, 教授 (70332640)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非平衡統計力学 / 揺らぎ / 流体力学 / 保存量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、まず多成分多粒子確率過程モデルに対する揺らぎの解析を進めた。過去１０年程度の間に１成分系、特にKPZ普遍性クラスに属するモデル系の解析は大きく進展したが、多成分系の理解は不十分なままであった。2018年になって研究代表者らがAHRモデルと呼ばれる２成分系の揺らぎに対する結果を得ることに成功したが、最初の論文における解析は特殊な状況に対してのみ適用可能なものであった。本年度の研究においてはこの解析を詳細に再検討し、各段階における議論や計算に関して数々の改善を行うことにより、多成分系の解析手法をより汎用性の高い形に改良することができた。また、時間が大きくなる極限において、揺らぎに関する主要項以外の項の大きさの寄与の評価も行った。揺らぐ流体力学と呼ばれる理論は主要項のみを予言するため、その理論の正当性を検証する際重要となってくるものである。現在は成果を論文に執筆中である。
また、開放境界を持つ量子系の時間発展の性質を調べる研究を行った。特にバルク部分がタイトバインディング模型の場合に、平均粒子密度を時間の関数として書き下す公式を見出し、その時間発展を議論した。その結果、平均粒子密度は境界効果により平均粒子密度は２段階緩和を示すといった現象を見出した。本成果に関しては論文をプレプリントサーバにて公開した。またその後他の物理量に関する考察も進め、いくつかの結果を得た。
さらに、流体力学的なアプローチを用いて非平衡系の揺らぎを調べる研究を開始した。現在のところ、１成分系に対して知られた揺らぎが別の手法を用いて再導出することに成功した。今後多成分系へ拡張を行う際の基礎となる結果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は、まずは研究代表者らが２０１８年に行ったAHRモデルと呼ばれる多成分系に対する計算や議論を再検討、改善し、より汎用性の高い精緻なものとすることが目的であったが、それはほぼ実行できたことから、概ね順調に進展しているといえる。年度内に成果を論文にまでまとめ、他の応用や拡張にまで進められればさらによかったが、本研究はその各段階で非自明なアイディアや考察、追加計算が必要となるもののため、ある程度の時間がかかることは致し方ないと考える。解析の要となるのはフレドホルム行列式と呼ばれる無限次元行列式がパラメータが大きくなる際にどのように振る舞うかを把握することであるが、適切な書き換えののちランク１摂動と呼ばれる形が現れることがわかったことが有用であった。またそれを用いて主要項以外の項の大きさに対する評価を行うことが可能となるなど、理論に関する理解は大いに深まったと言える。
一方で、境界つきの量子系の時間発展に関する研究は今年度はかなり順調に進んだといえる。また流体力学的なアプローチを用いて非平衡系の揺らぎを調べる研究も開始することができたのもよい進展であった。これまでのところ１成分系に対する予備的な研究にとどまっているが、すでにこれまで文献では議論されていないいくつかの新しい発見があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず2019年度の研究成果を、論文にまとめることが重要である。それを元にその後種々の方向に研究を進めることができる。例えば違う初期条件における解析を進めその揺らぎを決定することにより、多成分系における普遍性の議論を行うことができるようになる。そのような具体的な計算を通して、揺らぐ流体力学と呼ばれる理論の正当性の検証も行う。揺らぐ流体力学は、多成分系の揺らぎに関していくつかの予言を与えるが、その議論には制御できない近似を含んでおり、モデル系に対するミクロな計算との比較を行うことにより、その妥当性についての理解が深まると期待できる。特に、ミクロ系においては、揺らぐ流体力学で予言される主要項以外の項が現れ、その大きさを評価することができるので、どのような条件下においてゆらぐ流体力学が良い近似となっているかについて、具体的な知見を得ることができると期待できる。また、これまでのところ、解析はAHRモデルと呼ばれるモデル系に限られているが、他の多成分系の解析にも適用可能な形に理論を一般化することも検討したい。
並行して、Macroscopic fluctuation theory (MFT)理論を用いて非平衡系に対する揺らぎを調べる研究も進展させてゆく。まずは2019年度に得られた１成分系に対する予備的な結果を多成分系の場合に拡張していく。特に多くの保存量がある系に対する揺らぎはまだ多くは調べられていないので、重点的に調べたい。XX模型と呼ばれる量子スピン鎖に対するミクロな計算は2019年に行ったので、その結果との比較も行う。また開放系に対する拡張なども検討してゆく予定である。
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| Causes of Carryover |
国内における研究打ち合わせの予定一件が次年度に変更となったため。
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