2020 Fiscal Year Research-status Report
Properties of new types of orthogonal polynomials and extensions of exactly solvable quantum mechanical systems
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19K03667
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
小竹 悟 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40252051)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 数理物理 / 解ける量子力学模型 / 例外直交多項式・多添字直交多項式 / アスキースキームの直交多項式 / 離散量子力学 / 再帰関係式 / 形状不変性 / 閉関係式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
次数に欠落があるにも拘らず完全系をなし，2階の微分方程式または差分方程式を満たす新しいタイプの直交多項式(例外直交多項式，多添字直交多項式)の性質を調べる事と，これらの直交多項式が現れる解ける量子力学模型についての知見を得る事が本研究の目的である。
昨年度半ばに座標の範囲が無限の場合の連続ハーンとマイクスナー・ポラツェークのケース(1)の多添字直交多項式を構成したので，その結果を用いて再帰関係式などを昨年度末に研究した。通常の直交多項式ではその特徴付けである三項関係式が重要であるが，新しいタイプの直交多項式はもっと項数の多い再帰関係式を満たしている。座標が連続変数の場合に，座標の範囲が有限な場合と半無限の場合には定数係数の再帰関係式が調べられていたが，(両側)無限の場合には未だであった。座標の範囲が無限の場合の連続ハーンとマイクスナー・ポラツェークのケース(1)の多添字直交多項式に対して再帰関係式を与え，更にそれに関連して閉関係式・生成消滅演算子を議論して発表し雑誌に掲載された(雑誌論文1番目)。
新しいタイプの直交多項式を量子力学模型のダルブー変換による変形で構成してきたが，多段階の変形ではロンスキアンやカソラティアンという関数行列式が現れ，その性質が重要となる。これまでに用いてきた性質を拡張した性質がロンスキアンにある事を知り，同様な拡張がカソラティアンにも存在する事を示した。また，それらの性質が量子力学模型の変形において果たす役割を議論した(雑誌論文2番目)。
動径振動子の自由振動子表示を考え，調和振動子の固有関数を動径振動子の固有関数に移す写像を具体的に構成した。その多項式部分はラゲール多項式の自由振動子表示を与える。
直交多項式の零点を用いた離散直交関係式をアスキーウィルソン等の多添字直交多項式について考察して結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
既知の量子力学模型を変形する事で得られた，多添字直交多項式等の新しい直交多項式の性質を調べ，それらで記述される解ける量子力学模型についての知見を得る事が本研究の目的である。先ずは多添字直交多項式そのものが持つ性質について明らかにしておく事が重要であり，0次からl-1次までの次数が欠落したケース(1)の多添字直交多項式を主に考える。
通常の直交多項式は三項関係式で特徴付けられるが，通常の直交多項式ではない多添字直交多項式はもっと項数の多い再帰関係式を満たしている事をこれまでの研究で明らかにして来た。座標が連続変数の場合に，座標の範囲が有限な場合と半無限の場合は既に調べていたが，今回(両側)無限の場合の連続ハーンとマイクスナー・ポラツェークのケース(1)の多添字直交多項式に対して再帰関係式を与え，更にそれに関連して閉関係式・生成消滅演算子を議論した。
多添字直交多項式が満たす定数係数の再帰関係式の一般項を具体形に求めるという計画には余り進展がないが，当初の研究計画に無かった進展について述べておく。
新しいタイプの直交多項式を量子力学模型のダルブー変換による変形で構成してきたが，多段階の変形ではロンスキアンやカソラティアンという関数行列式が現れ，その性質が重要となる。これまでに用いてきた性質を拡張した性質がロンスキアンにある事を知り，同様な拡張がカソラティアンにも存在する事を示した。また，それらの性質が量子力学模型の変形において果たす役割を議論した。
この他にも，動径振動子の自由振動子表示を考えてラゲール多項式の自由振動子表示を得たし，多添字直交多項式の零点を用いた離散直交関係式も得た。
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| Strategy for Future Research Activity |
交付申請書の研究実施計画に書いた話題について研究を進めて行く事に特に変わりはないが，その順序については現在の進行状況を勘案して多少入れ替えていく。
研究実施計画に述べられていない話題として以下のものがあり，先ずはこれらについてまとめていく。今年度末に直交多項式の零点を用いた離散直交関係式をアスキーウィルソン等の多添字直交多項式について考察して結果を得ているので，この話をつめて論文として発表する。また，直交多項式を利用したマルコフ過程についての議論を佐々木隆氏と進めており，これについても論文としてまとめて発表する。
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