2021 Fiscal Year Research-status Report

Properties of new types of orthogonal polynomials and extensions of exactly solvable quantum mechanical systems

Research Project

Project/Area Number	19K03667
Research Institution	Shinshu University
Principal Investigator	小竹悟信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40252051)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords	数理物理 / 解ける量子力学模型 / 例外直交多項式・多添字直交多項式 / アスキースキームの直交多項式 / 離散量子力学 / 再帰関係式 / 離散直交性 / 自由振動子表示
Outline of Annual Research Achievements	次数に欠落があるにも拘らず完全系をなし，2階の微分方程式または差分方程式を満たす新しいタイプの直交多項式(例外直交多項式，多添字直交多項式)の性質を調べる事と，これらの直交多項式が現れる解ける量子力学模型についての知見を得る事が本研究の目的である。昨年度に動径振動子の自由振動子表示を与える論文を発表したが，論文投稿雑誌とのやり取りを経てこの研究結果が掲載された(雑誌論文1番目)。新しいタイプの直交多項式が登場する内容ではないが，それらの基となる通常の直交多項式であるラゲール多項式とエルミート多項式を関連付けるものである。自由場表示は複雑な数学的対象を自由場を用いて表して解析するという便利な道具であり，1自由度系では自由振動子表示となる。動径振動子の自由振動子表示を見出して，調和振動子の固有関数を動径振動子の固有関数に移す写像を具体的に構成した。その多項式部分はラゲール多項式の自由振動子表示を与えてくれる。今年度新たに発表した論文は2編あり，現在雑誌に投稿中である。1つ目の論文では，厳密に解けるマルコフ連鎖を直交多項式の畳込みを利用して具体的に構成した。離散変数の直交多項式である，クラウチュック，(q-)ハーン，(q-)マイクスナー，シャーリエ，リトルq-ヤコビ多項式の重み関数を定常確率分布として，それらの(一般化された)畳込みを考え，遷移確率行列の固有値・固有ベクトルが厳密に求まるマルコフ連鎖を数多く構成した。 2つ目の論文では，虚数シフトの離散量子力学に現れる多添字直交多項式の離散直交性を与えた。通常の直交多項式にはその直交性とは別に離散直交性(多項式の零点を入れて成り立つ直交性)という性質がある。通常の量子力学に現れる多添字直交多項式の離散直交性が最近示されたのを受けて，虚数シフトの離散量子力学に現れる多添字直交多項式の離散直交性を示した。また，規格化定数の予想を与えた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 既知の量子力学模型を変形する事で得られた，多添字直交多項式等の新しい直交多項式の性質を調べ，それらで記述される解ける量子力学模型についての知見を得る事が本研究の目的である。先ずは多添字直交多項式そのものが持つ性質について明らかにしておく事が重要であり，0次からl-1次までの次数が欠落したケース(1)の多添字直交多項式を主に考える。通常の直交多項式は三項関係式で特徴付けられるが，通常の直交多項式ではない多添字直交多項式はもっと項数の多い再帰関係式を満たしている事をこれまでの研究で明らかにして来た。座標が連続変数の場合に，座標の範囲が有限な場合と半無限の場合は既に調べていたが，両側無限の場合の連続ハーンとマイクスナー・ポラツェークのケース(1)の多添字直交多項式に対して再帰関係式を与え，更にそれに関連して閉関係式・生成消滅演算子を議論した。多添字直交多項式が満たす定数係数の再帰関係式の一般項を具体形に求めるという計画には余り進展がないが，当初の研究計画に無かった進展について述べておく。新しいタイプの直交多項式を量子力学模型のダルブー変換による変形で構成してきたが，多段階の変形ではロンスキアンやカソラティアンという関数行列式が現れるので，それらの性質を示し，量子力学模型の変形において果たす役割を議論した。通常の直交多項式にはその直交性とは別に離散直交性(多項式の零点を入れて成り立つ直交性)という性質があるが，虚数シフトの離散量子力学に現れる多添字直交多項式についても離散直交性が成り立つ事を示した。この他にも，動径振動子の自由振動子表示を考えてラゲール多項式の自由振動子表示を得たし，直交多項式を利用して厳密に解けるマルコフ連鎖を数多く構成した。
Strategy for Future Research Activity	交付申請書の研究実施計画に書いた話題について研究を進めて行く事に特に変わりはないが，その順序については現在の進行状況を勘案して多少入れ替えていく。先ずは投稿中の2編の論文について，投稿雑誌とやり取りをして掲載を実現させる。研究実施計画に述べられていない話題として以下のものがある。有限系の離散量子力学に現れる直交多項式には因子化の性質がある事が佐々木隆氏との議論で分かって来た。これは通常の直交多項式だけでなく多添字直交多項式でも成り立っており，これについて研究を進め，論文としてまとめて発表する。