2023 Fiscal Year Research-status Report
Toward a general thoery of statistical and stochastic fields using fermion point processes and conformally invariant SLE curves
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19K03674
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 楕円関数拡張 / 非エルミート行列値ブラウン運動 / 固有値過程 / 固有ベクトルオーバーラップ過程 / marked 点過程 / 行列式点過程 / 擬スペクトル / 複雑系研究 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 通常の数からなる数学体系を1パラメータ拡張したものを q-拡張という。これをさらに拡張した楕円関数拡張をこの数年来研究してきた。その中で、Chaundy-Bullardの恒等式の楕円関数拡張に関して、中央大大学院生の星氏、Schlosser 氏(ウィーン大）、および Koornwinder氏(アムステル大）との共同研究を完成させることができた。
(2) 非エルミート行列値ブラウン運動の固有値過程と固有ベクトル・オーバーラップ過程との結合系に対して、江崎氏（福岡大）、薮奥氏（北九州高専）と共同研究を行った。この系を記述する確率微分方程式系を厳密かつ明示的に導出した。また、正則化されたFuglede-Kadison行列式で定義される(4+1)次元の時空上の確率場を、確率偏微分方程式を導くことにより定式化した。この確率場の導関数の場の極限として、固有値点過程と、固有ベクトル・オーバーラップ行列の対角成分を重みとする marked 点過程が得られることを証明した。
(3) 複雑系研究として、アリの採餌行動に見られる集団的な振る舞いに対する数理モデルを構築し、数値的に解析した。これは、中大大学院生の江添氏、森本氏、田中氏と明治大学の西森氏との共同研究である。den Hollander 氏（ライデン大）らが近年導入した switching interacting particle systems という確率過程を用いたところが独創的である。また、アリの採餌経路の大域的な変化を非平衡相転移として捉え、その臨界現象も議論した。
(4) 非エルミート行列値ブラウン運動の初期行列が非正規、すなわち、ユニタリ―行列で対角化できない場合、固有値過程に新奇な現象が起こることが数値的に報告されている。中央大大学院生の森本氏、白井氏（九大）とこの現象を、擬スペクトルに対する理論を用いて研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
(1) 非エルミート行列値ブラウン運動に対するこれまでの研究で、固有値過程が固有ベクトル・オーバーラップ過程と結合することが重要であることは認識していた。しかし、中大大学院生の森本氏のが提案した決定論的な力学モデルを数値的に研究した結果、行列が非正規の場合には、擬スペクトル理論との関係が非常に重要になることを今回初めて理解した。これは当初の研究では予想していない進展であり、非常に興味深い研究課題であると思われる。森本氏の計算機による数値的な結果が駆動力となり、真の固有値を定める方程式を共同研究者の白井氏が見つけた。モデルを拡張すると、この方程式が非自明な形で拡張されることも、研究を進めるうちに発見したものである。
(2) 行列式点過程は超一様性という著しい特性を有することが知られている。Lazag 氏（Angers 大）と白井氏（九大）との共同研究により、相関核という2点関数が2点間距離だけに依る場合について、超一様性に関して詳しい解析を行った。この結果も、当初は予想していないものであった。
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| Strategy for Future Research Activity |
(1)非エルミート行列に対するランダム行列理論においては、すでに固有値と固有ベクトル・オーバーラップとの結合が重要であることは知られていたが、我々はそれを動的に拡張した。それにより、統計集団の問題から、初期値問題という動的な問題になったが、初期行列が非正規、すなわちユニタリ―行列で対角化できない場合がクローズアップされることになった。その場合、数値的な研究分野において、擬スペクトルという概念が重要になる。固有ベクトル・オーバーラップと擬スペクトルとの関係を今後、系統的に研究する必要がある。その結果、固有値と固有ベクトル・オーバーラップの結合系という見方から、固有値と擬スペクトルの結合という見方へのシフトが示唆される。非エルミートランダム行列理論に新しい視点を与えることを目標として研究を進めたいと考えている。
(2)switching interacting particle systems は確率論分野での新しいタイプの相互作用粒子系モデルである。これをアリの経路選択における switching と対応させてモデル化を行ったところが我々の独自性である。その結果、switching interacting particle systems の新しい応用分野が開拓されたことになる。我々のアリの経路選択モデルに対する研究は、現時点では計算機シミュレーションによる数理的なものである。今後、何らかの意味で解析的な結果を得ることが今後の課題である。また、（アリの）経路の生成・消滅という大域的な変化を、非平衡相転移と対比させるというアイデアをさらに深め、その普遍性を議論したい。
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| Causes of Carryover |
研究結果を公表するために必要な経費として使用するために、次年度使用額が生じた。研究成果発表のために有効利用する計画である。
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