2019 Fiscal Year Research-status Report
データ解析の数学的手法が描く正準テンソル模型の時空描像と時空概念の普遍性
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19K03825
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
笹倉 直樹 京都大学, 基礎物理学研究所, 准教授 (80301232)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐藤 勇貴 名古屋大学, 高等研究院(理), 特任助教 (70714161)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子重力 / 正準テンソル模型 / テンソル模型 / 行列模型 / 相転移 / 波動関数 / エアリ関数 / リー群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
重力の量子化は理論物理学における最大の難問の一つである。本研究代表者はそれに対しテンソル模型の研究を行っている。本研究計画の最終目標の一つは、正準テンソル模型のダイナミクスを一般相対論の時空として解釈することである。この模型は力学変数が離散的であるため連続多様体に基づく一般相対論の古典的時空描像との関係は自明ではない。以前の研究により、古典正準テンソル模型と一般相対論との関係は理解されたが、量子正準テンソル模型においては、量子論的状態と古典時空との関係を理解する必要があり、良く分かっていない。正準テンソル模型には厳密に解くことのできる物理的状態が存在し、その波動関数はエアリ関数の一般化で与えられる。この波動関数は表式自体はシンプルなものであるが、複数変数の積分が含まれるため、その性質の理解は容易ではない。以前の研究により、リー群対称性のもとで不変な配位が量子論的確率の高い配位（波動関数のピーク）であることが見出されている。この事実は現実の時空が様々なリー群対称性の不変性を持つことと合致するため、確率の高い配位が時空として理解できるのではと期待させられる。本研究計画の最も重要な最終目標の一つは、これを具体的に示すことである。
今年度の主な成果は、その厳密な物理的状態に対する一連の観測量が、新しいタイプの行列模型で記述されることを見出し、その性質をある程度明らかにしたことである。最も驚くべき発見は、この行列模型には連続的相転移点が存在し、その位置が丁度正準テンソル模型の無矛盾性条件と一致したことである。よく知られていることとして、連続理論は離散的な理論の連続的相転移点近傍で熱力学的極限をとることにより得られるが、この一致は、正準テンソル模型が「自動的に」連続理論になることを示している。古典的連続時空の存在を示すにはまだ具体性に欠けるが、正準テンソル模型の将来性を示す成果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績で記述した行列模型を仲介とする研究はポスドクレベルの研究者との共同研究である。摂動展開による解析計算やモンテカルロ数値計算の導入など、比較的高度な理論的または数値的技術を取り入れて順調に進展している。特に、連続的相転移点の位置と正準テンソル模型の無矛盾性条件との一致は、予想し得なかった驚くべき発見であり、正準テンソル模型の将来性を示す大きな成果と言える。
一方で、テンソルに関連する応用数学と関連づける研究は、量子論的取り扱いを必要としない古典的研究であり、技術面で比較的容易である。このこともあり、学生との共同研究として進めているが、学生の進展に合わせており進展は比較的遅い。しかし、少しづつ成果も出始めており、来年度には論文発表ができるものと期待している。
幾分遅延している部分があるものの、上記の驚くべき発見もあり、全体としては特に大きな困難もなく研究は順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究では、観測量を表す行列模型の性質を摂動論に基づく解析計算とモンテカルロ法による数値計算によって調べた。どちらの計算においても同様な位置に連続的相転移点が存在するが、具体的な観測量の計算結果には違いが見られる。数値計算は誤差の範囲で厳密である一方で、変数の数を無限に持っていく熱力学極限、つまり連続極限、をとることができないなどの欠点がある。一方、解析計算はそれが可能であるが、これまでの摂動論による計算は数値計算の結果を十分に再現できていない。今後の研究としては、解析計算を摂動論とは異なる方法により改善することを目指し、熱力学極限がどのようなものであるかをはっきりさせたい。
また、学生と進めている研究では、テンソルの値と距離計量との関係は求まっており、研究の基礎はできている。今後は、相対論における重要な概念、例えば、ブラックホールや事象の地平線などの概念が、テンソルの値のどのような特徴として現れるのかを調べたいと考えている。
テンソルに関連する応用数学分野における技術、例えば、テンソルのランク分解やテンソルの固有値問題などは、正準テンソル模型の研究と重なる部分があり、我々の研究から逆に有用な結果を与えることも可能であろうと考えている。予期し得なかったコロナ騒動のために研究会への参加等が不可能でこれまでのところ分野間交流を行えていないが、今後騒動が落ち着き次第、開始したい。
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| Causes of Carryover |
コロナ騒ぎの影響もあり年度末に研究会等に出張できなくなり、若干予算が余気味となってしまったが、基金ということもあり、概ね順調に使用していると考えている。
来年度は、コロナ騒ぎが収まり次第、研究会への発表・参加や、研究交流の推進など、出張や招聘に積極的に使用したいと考えている。
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