2021 Fiscal Year Research-status Report
ブラックホール時空の可積分性とキリング・矢野対称性
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19K03877
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| Research Institution | Setsunan University |
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Principal Investigator |
安井 幸則 摂南大学, 理工学部, 教授 (30191117)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 共形キリング・矢野テンソル / ブラックホール時空 / 変数分離性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
共形キリング・矢野テンソル（以後CKYと略記）が相対論の研究に初めて登場したのは1973年, カー時空上の測地線方程式の保存量を与えるカーター定数がCKYの“2乗”の形で書けることを発見したペンローズとフロイドの論文である。その後，カー時空上の場の方程式の変数分離性に対してもCKYが幾何学的な説明を与えることがわかり，その有用性は多くの相対論研究者に知られるようになってきた。
CKYはキリングベクトルを高階の反対称テンソル場に拡張したものであり，時空の隠れた対称とも呼ばれる。ブラックホール時空の対称性とは何か，ブラックホール時空にふさわしい座標系は何か，といった基本的な問いかけにCKYを使って答えることが本研究の特徴である。
2000年代に入ると，超弦理論や超重力理論に動機づけられた。高次元ブラックホール時空の研究が活発に行われた。本研究との関連で大きなブレークスルーは，一般次元においてCKYを許す高次元ブラックホール時空（高次元Kerr-NUT-AdS時空）の一意性定が証明されたことである(Houri-Oota-Yasui 2007) 。その後，高次元Kerr-NUT-AdS時空上の測地線方程式，クライン・ゴードン方程式，ディラック方程式，そしてマックスウェル方程式の変数分離性がCKYを使って示された。こうした流れの中で，高次元Kerr-NUT-AdS時空の重力摂動方程式が変数分離するか，という問題はここ20年の未解決問題になっている。この問題は，高次元ブラックホール時空の安定性を調べるための重要なステップとなる。宝利-棚橋との共同研究では，高次元Kerr-NUT-AdS時空の角運動量を部分的に揃えた場合について重力摂動方程式を解析した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
高次元Kerr-NUT-AdS時空の角運動量を部分的に揃えることにより，テンソルモードに対応する重力摂動方程式の変数分離性が示された(Oota-Yasui 2010)。本研究では重力摂動方程式を使ってブラックホール時空の準固有振動について詳細な解析を行った。重力摂動方程式はフックス型の常備分方程式によって与えられる。ブラックホールのホライズンは方程式の確定特異点であり，そこでの正則解が無限遠まで延長できるかどうかが問題になる。もし束縛状態に対応する正則解が見つかると，時空が不安定であることの証拠となる。宝利-棚橋との共同研究では，高次元Kerr-NUT-AdS時空のテンソルモードに対し，そのような束縛状態が存在することを発見した。先行研究では，重力摂動方程式の変数分離性が明白になる全ての角運動量が揃った奇数次元の場合に制限されていた。
今回の解析は，偶数次元を含むより一般的な高次元Kerr-NUT-AdS時空について不安定モードが存在することを示すものである。
以上のように，高次元ブラックホール時空の重力摂動について着々と成果が出ている。
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| Strategy for Future Research Activity |
リッチ平坦な高次元ブラックホール時空はMyers-Perryによって構成された。この解は高次元Kerr-NUT-AdS時空において宇宙項をゼロ, NUTパラメータをゼロとしたものである。対応する重力摂動方程式は，前述のKerr-NUT-AdS時空と異なり無限遠に不確定特異点が現れるため，その取り扱いは難しくなる。Myers-Perry解に対し，テンソルモードに不安定性が現れないということが全ての角運動量が揃った奇数次元の場合に示された（Kunduri-Lucietti-Reall 2006)。
目標の一つは，彼らの解析を角運動量が部分的に揃った場合に拡張することである。さらに，ブラックホール時空の空間次元無限大の極限を考えることも興味深い。最近のDias-Hartnett-Santosたちの研究によると，空間次元無限大の極限で，高次元シュワルツシルト解の準固有振動とMyers-Perry解の不安定モードの間の関係性が議論されている。これについてCKYに基づく解析的な証明を与えることも本研究の今後の目標である。
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| Causes of Carryover |
コロナウイルスの影響を考慮して，学会，研究会，共同研究のための出張を中止した。
2022年度はセミナーや研究会が対面で実施され，参加できることを期待している。そのための旅費などに予算を使う予定である。また，宝利-棚橋との共同研究のための出張に予算を使う予定である。
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