2019 Fiscal Year Research-status Report
アフィン写像に基づく行列方程式の低次元解法と磁気浮上系への応用
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19K04282
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| Research Institution | Daido University |
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Principal Investigator |
不破 勝彦 大同大学, 情報学部, 教授 (70324481)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 行列方程式 / 同伴形式 / 連立方程式 / 漸化式 / アフィン写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和元年度は、研究目的「連立方程式とアフィン写像との2段階方式による行列方程式の解法と磁気浮上系によるモード切り換え型制御手法の構築」に対して、前半部分である連立方程式とアフィン写像の構造について研究を進めた。具体的な研究内容およびその実績を以下記述する。
１）行列方程式の要素から得られる漸化式の導出…制御対象は状態方程式により記述されるものとして、そのシステム行列を同伴形式に変換した後、制御対象の特性多項式の係数ならびに行列方程式の定数項の行列要素を含む、行列方程式の解行列の要素に対する漸化式を導出することができた。漸化式表現は、連立方程式やアフィン写像への定式化を行うためには必要不可欠であり、本研究では重要な成果であると考える。
２）漸化式の一般項の導出…項目１）から得られた漸化式を使って階差計算を行い、制御対象の特性多項式の係数ならびに行列方程式の定数項の行列要素を含む漸化式の一般項を導出した。行列方程式を漸化式の一般項として表記できたことは理論的には意義深いと考える。
３）連立方程式の定式化…項目２）から得られた漸化式の一般項を纏めて連立方程式として定式化し、その真偽を検証するために令和元年度に計画していた高性能計算機の設置ならびに数式処理ソフトウエアを導入した。ただし、計算機の不具合ならびにソフトウエアのインストール不具合があり、その対応に追われた関係上、現在定式化の真偽については確認中である。
４）アフィン写像の定式化…項目３）で得られた連立方程式の解と解行列のそれ以外の要素とが従属することを解析的に確認することができた。それゆえ、それらを纏めて解行列の要素をアフィン写像として定式化した。行列方程式が簡単な写像で表現できたことは理論上ばかりか数値計算上においても有用である。しかしながら、３）で述べた理由によりアフィン写像の定式化の真偽については確認中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
つぎの２つがその理由である。
１．連続時間系による行列方程式と離散時間系によるそれとでは定式化が大きく異なる。とりわけ、解行列に制御対象のシステム行列が左右から掛けられる項を有するため、特性多項式の係数が2次になり、連立方程式の係数行列およびアフィン写像の変換行列に非線形項を含む。非線形項の計算は数値的な不安定に起因するため、できるかぎりその要素が少なくなるよう座標変換を用いてその定式化を行ったため時間を費やした。
２．連立方程式およびアフィン写像の定式化の真偽を確認するため、令和元年度は高性能計算機の設置と数式処理ソフトウエアを導入した。しかしながら、計算機の起動に関するメーカ不具合ならびにソフトウエアのインストールに関するメーカ不具合があり、その対応に追われた関係上、現在までに定式化の真偽を完了することができておらず、確認作業を継続している。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、連立方程式およびアフィン写像の定式化の真偽を確認し、必要に応じて定式化の見直しを早期に終えたい。
つぎに、令和2年度研究計画として行列方程式の可解条件を求めることであり、本研究の最も主要な内容となる。具体的には、行列方程式の可解条件と連立方程式のそれとの関係を明らかにし、解行列の求解アルゴリズムを構築する。まずは、連立方程式の可解（解の一意性）条件が制御対象の安定性の条件と一致することを証明したい。離散時間系では連立方程式の係数行列の要素に特性多項式の係数の積が含まれ、離散時間系の安定条件は固有値の積で表現されることから、両者の関連性が導出できるものと予想している。
また、連立方程式とアフィン写像との2段階方式による行列方程式の解を得るための求解アルゴリズムを構築する。その際、連立方程式の係数行列およびアフィン写像の変換行列がスパースになることが予想され、再帰的な手法によるアルゴリズムを検討する。ただし、スパースにならない場合には、行列方程式の可解性は担保した上で可能な限りスパースになるような座標変換を新たに検討する必要はあるものと考えている。
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