2019 Fiscal Year Research-status Report
迂回の特性を捉えた最短遷移アルゴリズムに関する研究
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19K11814
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
伊藤 健洋 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40431548)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | グラフアルゴリズム / 組合せ遷移 / マッチング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，特にマッチングに対する最短遷移問題の研究を進め，解空間の連結性の観点から異なる２つの隣接関係について解析した．一つは，交互道または交互閉路に基づいて，マッチングを遷移させる問題である．もう一つは，１組の辺を交換させながら，マッチングを遷移させる問題である．
前者については，完全マッチングに焦点を絞って研究を進めた．このとき解空間は常に連結であり，どの２つの完全マッチングも互いに遷移可能となる．一方で，本研究では，その最短遷移問題（すなわち，２つの完全マッチングを遷移させるための最小のステップ数を計算する問題）は，入力グラフが平面的グラフであっても計算困難であることを証明した．また，外平面的グラフに対しては，多項式時間で解くアルゴリズムを開発した．本研究で扱った完全マッチングの解空間は，従来からよく研究されている「完全マッチング多面体」と一致する．多くの多面体においては，2つの解が隣接しているかどうかを判定するだけでも計算困難であることが示されている．一方で，本研究の完全マッチングの解空間（多面体）では，2つの解が隣接しているかどうかは容易に判定できる．しかし，その最短遷移問題は計算困難であることを本研究で明らかにしており，この観点からも興味深い．
後者は，よく知られるトークンジャンプモデルの遷移問題であり，一般のマッチングについて研究を進めた．このとき解空間は，前者とは異なり，連結しているとは限らない．すなわち，２つのマッチングは遷移できないときもある．本研究では，その最短遷移問題が，入力グラフが二部グラフであっても計算困難であり，また近似困難であることも証明した．さらに，与えられた２つのマッチングの対称差のサイズに基づき，二部グラフに対して固定パラメータアルゴリズムを開発している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
マッチングに対する最短遷移問題について，ほぼ計画通りに解析が進められている．また，完全マッチング多面体のように既存研究との関係性も明らかになってきている．
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| Strategy for Future Research Activity |
点彩色に対する最短遷移問題について研究を進める．部分的な結果は本年度にも得られており，それをより精査していく．また，マッチングや点彩色以外の様々な遷移問題に対しても，本研究で得られた知見を活用できないか模索していく．
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| Causes of Carryover |
コロナウィルスの影響により，出張計画に変更が生じたため．次年度以降，出張や計算機の購入に有効活用する予定である．
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