パラメータの定まったニューラルネットワークの性質を調べるアルゴリズム基盤の構築

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K11817
• Research Institution: Yamagata University
• Principal Investigator: 内沢 啓 山形大学, 大学院理工学研究科, 准教授 (90510248)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 計算複雑さ / しきい値回路 / ニューラルネットワーク

Outline of Annual Research Achievements

本年度はパラメータの定まったニューラルネットワークの性質を問う決定問題の中でも特に，何らかの論理関数を計算するしきい値回路が入力として与えられ，その回路が入力ベクトルに含まれる１の個数に対して出力の不変性を持つかを問う決定問題について研究を行った．この決定問題については既に，入力として与えられるしきい値回路を構成する素子の数が線形個以上であるときには，線形回のクエリを伴うチューリング還元の下でNP困難となること，すなわちこの決定問題が現実的な計算時間では解けそうもないことが証明されている．本年度の研究では，この同じ決定問題が素子1個からなるしきい値回路であってもNP困難となることを示した．すなわち，仮にしきい値回路を構成する素子の数が線形個よりも少なく定数個であったとしても，入力ベクトルに含まれる１の個数に対する不変性についての情報を回路から取り出すことは困難であることを示した．またこの還元においては，既存の研究で用いられらたチューリング還元よりもはるかに制限の強い多対ー還元を用いており，この決定問題の計算量的な難しさをより明確にしている．
さらに，同様の設定において，しきい値回路が持っているかを問う不変性を緩和した場合に，その計算複雑さが変化するかについても研究を行った．その結果，入力ベクトルの中の１の個数ではなく，１の場所の相対的な位置関係に関する不変性について問う場合は，素子１つのしきい値回路について多項式時間で解けることを明らかにした．これらの結果から，しきい値回路に対して問う不変性の種類によって，計算複雑さが変わりうることが明らかになった．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は，不変性を問う決定問題の計算複雑さについて，現実的な時間で情報を取り出せる場合と，取り出すことが難しい場合があることを確認できた．また，解ける場合に対しては，その決定問題を解くアルゴリズムを開発しており，しきい値回路を入力とする決定問題を解くための土台を得ることできている．

Strategy for Future Research Activity

本年度に検討した，入力ベクトルの１の場所に関する不変性を問う決定問題について，
入力として与えられるしきい値回路を構成する素子の個数が増えた場合に，現実的な時間で解くことができるのかについて検討する．また，この決定問題の亜種をいくつか検討し，類似の不変性を問う決定問題の計算複雑さを高める要因について検討する．

Causes of Carryover

年度末に情報収集のために参加予定であった研究会等がコロナウィルスの影響で中止となったり，大学からの出張禁止令のため旅費を執行できなかった．こうした予算は，自宅勤務のために必要となった新しい計算機および周辺機器の購入，次年度にコロナウィルスの広がりが収まった場合に旅費として使用する．