2022 Fiscal Year Annual Research Report
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19K11818
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
山崎 浩一 東京電機大学, 理工学部, 教授 (00246662)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 極小セパレータ / 形式概念束 / 頂点被覆集合 / 2部グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
極小セパレータは理論と実践の両方で幅広く研究されているが、グラフアルゴリズムなどの応用よりの研究は盛んだが、束構造などの理論よりの研究は盛んとは言い難い（極小のa,bセパレータの集合は束を形成することが知られている）。このような背景から、本研究では、束理論の洞察を通じて極小セパレータに関する既知の結果を再検討し、新しい視点を得ることを目指している。
極小セパレータの研究において近年k-creatureと呼ばれるグラフ構造が注目されているが、本研究ではk-creatureではなく、形式概念束とk-creatureの両方に親和性を持つ隣接極小a,bセパレータ（以下AMSと略記）というグラフ構造を定義し、それを用いて研究を行った。
AMSとは、隣接する2つの極小a,bセパレータのペアのことで、束理論の観点からは、この2つの極小a,bセパレータ間に位置する極小a,bセパレータの集合からなる集合族は、区間束（AMSLと略記）として捉えることができる。また、グラフ理論の観点からは、AMSが誘導する部分グラフ上の極小な頂点被覆集合からなる集合族（MVCと略記）として捉えることができる。本研究では、このAMSLとMVCの等価性を示し、束構造での既存研究を極小セパレータとして新しく解釈することで、幾つかの結果を得ることができた。
具体的には、束理論とグラフ理論のそれぞれの分野で独立に得られた、外見上異なるが本質的に等価な、ある研究結果に対し、束理論で表現された(Sauer-Shelah補題を使った)証明手法を、グラフ理論の表現に翻訳することで、別証明を与えた。また、2部グラフ上のMVCに対するガロア接続および閉包作用素の存在を明示的に示した。さらに、t-critterと呼ばれるごく最近発見されたグラフ構造を束構造の観点から検証することで、k-creatureとt-critterの違いを明確にした。
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