2020 Fiscal Year Research-status Report
代数曲面の近似・変形・補間の各操作に適する数値・数式融合計算の開発と検証
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19K11827
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
長坂 耕作 神戸大学, 人間発達環境学研究科, 准教授 (70359909)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 近似GCD / SLRA / NewtonSLRA |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当初の研究計画では，令和２年度以降，多変数の近似GCDアルゴリズムと近似Groebner基底の改良に取り組むこととなっていたが，令和元年度の研究実績により，関数の値（関数のグラフ）の摂動の観点からは，近似GCDにはさらなる改良の余地があると思われた。そのため，Bernstein基底を用いた近似GCDの研究成果発表だけに留めず，多変数の問題への適用可能性の検討を視野に入れつつも，1変数多項式の近似GCDの再検討を行った。再検討の対象としたは，SLRA(Structured Low Rank Approximation)に基づく手法である。SLRAは，与えられた行列からの距離が最小の行列であって，階数がより小さな行列を求める問題である。特に，1変数多項式の近似GCDだけでなく多変数を含む多くの類似問題（近似Groebner基底を含む）が，このSLRAに帰着可能なことが知られているため，研究計画の修正は軽微となる（ただし，SLRA自体はnon-convexであり簡単な問題に帰着されている訳ではない）。SLRAの解法としてはalternating projection（Cadzowアルゴリズム）などが知られているが，SchostとSpaenlehauerにより局所的に2次収束するNewtonSLRAアルゴリズムも提案されている（彼らの論文内で1変数多項式の近似GCDへの適用例も挙げられている）。令和２年度は，この解法を改善した緩和型アルゴリズムを開発した（改善点は距離）。このアルゴリズムは，令和２年度の研究集会等で改善の経過を速報しつつ，最終的に年度内の完成に至り，令和３年度の国際学会等での研究成果発表に向けて論文投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
1変数多項式の近似GCDだけでなく多変数を含む多くの類似問題を帰着可能なことが知られているSLRAの解法であるNewtonSLRAの改善が行えたことから，アルゴリズムの開発状況としては概ね順調に進んでいると判断できる。しかしながら，アルゴリズム開発に計画以上の時間を費やすこととなってしまった関係で，開発したアルゴリズムの多変数の問題への適用可能性等の評価が令和２年度内に完遂できなかったため，これをもって「やや遅れている」と判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画では，令和２年度以降（令和３年度も含み），多変数の近似GCDアルゴリズムと近似Groebner基底の改良に取り組むこととなっている。令和２年度の研究実績により，SLRAの解法であるNewtonSLRAの改善が行えたことから，まずは多変数の問題への適用可能性を評価することを最優先としたい。その後，既存アルゴリズムとの比較を実施した上で，それらの結果に基づき，多変数向けのアルゴリズムの改良に取り組むものとする。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため各種国内外への出張が取りやめになったことから旅費が次年度使用額として生じることとなった。また，研究成果に基づく研究計画の調整の結果，令和２年度に予定していた当初計画の小規模計算用ワークステーションの購入を先延ばしし，計算実験に必要なソフトウェア環境を整えたことから，これら次年度使用額は令和３年度の計算設備の拡充に充てる計画である。
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Research Products
(6 results)
