Development of Universal Theory in Constructing Objective Priors in Classical and Quantum Statistical Models

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K11860
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 田中 冬彦 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (90456161)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 情報幾何 / ベイズ統計 / 量子計算機 / 量子トモグラフィ / 拡張ピタゴラス定理 / 正則化推定量 / 量子系の統計推測 / 客観事前分布

Outline of Annual Research Achievements

量子情報に関しては、共同研究者による数値実験の結果が出そろい、超伝導量子ビットのデータ解析での推定手法に関する先駆的な研究論文を投稿することができた。従来までの物理学者による研究と違い、数理統計学的にしっかりした定式化を行い、自己整合量子トモグラフィにおいてこれまで曖昧だった推定量の一致性や収束のオーダーなどが明らかになった。特に、この文脈において導出した推定量は、ベイズ統計でのMAP推定量の近似と解釈でき、客観ベイズ分析の土台が構築された。関連して信頼区間のベイズ版である信用区間の構成法についても関係者と議論を継続している。その他の応用の観点でもベイズ推定が使われる論文も調べたが物理分野では不十分な理解による研究が多いことも判明した。
ところで、上で詳細に検討した統計モデルは原理的な非正則性を取り除けないモデルである。特殊ケースではファイバーバンドル構造をもつことも明らかになった。一方で、時系列モデルの一部、例えばARMAモデルでも、このような特異性が発生する。これらに共通するのは、ラフに述べると、モデル多様体において正則な方向と非正則な方向があることである。
情報幾何学的には、正則な方向（正則な部分多様体上）ではCencovの定理から計量や接続といった幾何学的な量が自然に定まるが、非正則な方向に関しては何も言えていない。本研究での客観事前分布に対するアプローチを進めるうえでは非正則な方向についても、何らかの幾何学的な構造を定める必要性が生じた。こうした問題を解決するため、ダイバージェンスに基づいて非正則な方向の幾何学を検討している。現段階では、切断型指数型分布族といった統計モデルであれば、拡張ピタゴラスの定理が成立することが示された。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

2020年度は、年度後半で新型コロナの収束を期待して、出張や研究発表を想定していたが全くできなかった。そのため、学術的な議論ができず、研究としての進捗が遅れている。
また、関連して大学業務の負担が大きくエフォートが割けなかった。そのため、個人的な文献収集と調査に重点を置くことになった。

Strategy for Future Research Activity

上に述べたようなことから、2020年度も研究関係者との密な議論ができないことが多かった。また、研究集会などでの発表もできていない。
そこで、共同研究に関わっている部分よりも個人研究にウエイトをおく。応用上の意義よりも数理的な構造に関する研究（新型コロナ禍の下でも比較的取り組みやすい）に重点をおくようにする。

Causes of Carryover

2020年度は、年度後半で新型コロナの収束を期待して出張や研究発表を想定していたが全くできなかった。2021年度後半ではワクチン接種によりコロナが収束した段階で出張を伴う研究打ち合わせ（対面）や研究発表（対面）を行っていく。