2019 Fiscal Year Research-status Report
リフティングを用いた保型表現の分類・構成についての研究
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19K14494
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
跡部 発 北海道大学, 理学研究院, 助教 (50837284)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 宮脇リフト / Arthur分類 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は保型形式のリフティングの一つである、宮脇リフトの高次元化に取り組んだ。保型形式とは、豊富な対称性を持つ関数であり、それ故にその存在自体が非自明なものである。リフティングとは既知の保型形式の組みから、新しい保型形式を作り出す方法である。宮脇リフトとは元来、池田氏によって構成されたリフティングであり、それはダブリング法と呼ばれるL-関数の構成を模倣して作られるものである。近年、ダブリング法の高次元化が確立された。本研究ではその手法を模倣し、宮脇リフトを高次元化することを目指した。大部分は仕上がったが、最後に組み合わせ論的な難点が発見された。
また、別の課題として、局所A-パケットの構造について調べている。局所A-パケットとは、保型形式の局所成分を記述するためにArthurによって導入された概念である。導入された当時は、局所A-パケットは抽象的に定まる集合であり、その構造は非常に不明瞭なものであった。従って、局所A-パケットの構造を決めることは、保型形式の分類・研究を大きく進める一歩になる。さらには、局所A-パケットに属する表現は全てユニタリー表現であることが知られており、従って、この課題は、古典群のユニタリー双対問題にも応用が効くと考えられる。
局所A-パケットをより詳しく調べるための手法として、Jantzenによる表現を決定するアルゴリズムを応用することを考えている。本年度には、このアルゴリズムを用いて、多くのパケットの具体例を計算した。現在はこの具体例をまとめて、一つの結果を出すことを目指している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度はまず、ダブリング法の高次元化（ねじれダブリング法）を模倣するために、この理論を線型代数を用いて整備した。これによって、なぜ、ねじれダブリング法がうまくいくのかという理由が分かった。その後、宮脇リフトの高次元化に取り組んだ。初めに局所宮脇リフトを高次元化することを考えたが、ここではSpeh表現と呼ばれる表現のJacquet加群の計算が必要であることが分かった。それは組み合わせ論的に非常に複雑になり、そこからある問題が生じることが分かった。
また、別の課題として、局所A-パケットの構造問題に取り掛かった。そのためにまず、Minguezらによって用いられた表現の微分の概念、及び、Jantzenによる表現を決定するためのアルゴリズムを整備した。その後、いくつかの局所A-パケットの具体例を計算した。それにより、多くの現象、及び、法則を感じ取ることができた。
本年度の研究により、どちらの課題においても、難点や法則の発見等、多くの準備が整ったことになる。後はこれらの計算結果を整理してまとめることで、宮脇リフトの高次元化、及び、局所A-パケットの構造問題への解決に繋がると期待できる。そのため、本研究はおおむね順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度ではまず、局所Aパケットの構造を決定することを目指す。この問題は大域的な保型形式・保型表現の理論への応用だけでなく、表現論における最終目標でもあるユニタリー双対問題とも深く関わっている。このためには、Minguezらが使用した表現の"微分"という概念を調べる。Jantzenにより、表現の微分を計算することにより、表現そのものを復元するアルゴリズムが与えられた。このアルゴリズムを適用することにより、局所Aパケットの内部構造がより深く理解できると推測している。
また、前年度に研究中であった局所宮脇リフトの高次元化を完成させる予定である。これは前年度にほぼ完成してはいたが、最後に組合せ論的な難点が現れ、その部分については手をつけていなかった。次年度では、この組合せ論的な難点を解決することを目指す。その後は大域宮脇リフトに話を移す。可能であれば、数値計算を行うことによって、大域宮脇リフトの非消滅性に関して予想を立てることも考えている。通常の宮脇リフトの場合と同様に、この予想も非常に難しいものになると思われる。これを例えばGan-Gross-Prasad予想など、有名な予想・結果に帰着することを目指し、特に、比較的低次元の場合には予想を証明したい。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は、海外出張時に先方が負担を申し出たなどの、予想外の資金援助を受けたためである。次年度使用額は、次年度に有償の計算機ソフトのライセンスや北海道大学では手に入らない論文の購入のための費用に当てるつもりである。また、本年度の研究がまとまってきたので、コロナウイルスの終息後には、国内外を問わず多くの場で研究発表をする予定である。さらには研究のために国内外の研究者を招聘することも考慮に入れている。これらのためには多くの旅費が必要不可欠であると考えられる。
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