2020 Fiscal Year Research-status Report
可換環論を用いて双有理幾何学に現れる特異点の不変量の研究
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19K14496
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
柴田 康介 日本大学, 文理学部, 研究員 (60819671)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / 特異点 / 最小対数的食い違い係数 / アークスペース / 商特異点 / hyperquotient特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
極小モデル理論の不変量である最小対数的食い違い係数は代数幾何学で特異点を研究する際に重要な不変量である。研究代表者は最小対数的食い違い係数をアークスペースを用いて研究し、いくつかの最小対数的食い違い係数の予想を示すことができた。
本年度は中村勇哉氏と共同研究を行い、未解決の問題であるのPrecise inversion of adjunction予想と呼ばれる最小対数的食い違い係数に関する予想がhyperquotient特異点かつ双有理幾何学的にいい特異点であるlog terminal特異点の場合について証明することができた。特に商特異点かつlog terminal特異点のときにPrecise inversion of adjunction予想が正しいことが分かった。またこの応用として最小対数的食い違い係数に関する予想で最も重要な予想の一つである下半連続予想がhyperquotient特異点かつlog terminal特異点の場合に正しいことが分かった。
本年度の研究は次のように行った。一つ目のステップはDenef氏とLoeser氏の研究を一般化し、hyperquotient特異点をアークスペースで研究することは群の作用を考えずにC[t]-スキームをアークスペースで研究することに帰着することができた。二つ目のステップとしては、一つ目のステップにより群の作用によってできるC-スキームの特異点であったものを群の作用を考える必要がない代わりに、C[t]-スキームの特異点に関して調べる必要があった。そこでC-スキームについてできているアークスペースの理論をC[t]-スキームの場合に拡張することで、hyperquotient特異点の最小対数的食い違いの問題をC[t]-スキームのアークスペースの理論を使い解決することができた。
これらの研究結果は論文としてまとめ、ジャーナルに投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
未解決の問題であるのPrecise inversion of adjunction予想が条件は付いているが商特異点の場合に解け、さらに最小対数的食い違い係数に関する予想で最も重要な予想の一つである下半連続予想が特別な場合であるが解けたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度はPrecise inversion of adjunction予想や下半連続予想をhyperquotient特異点がlog terminalという仮定の下で解くことができたが、今後はlog terminalという仮定することなく解きたいと考えている。そのためにC[t]-スキームのアークスペースの理論についての研究を行う。さらに本年度行った研究をhyperquotient特異点とは限らない群が作用している特異点への一般化を考えていく。
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| Causes of Carryover |
本年度は新型コロナウイルスの流行により研究集会がすべてオンラインになった影響で旅費がかからず、また大学の図書館の使用をしなかったため、購入しようと考えていた書籍の内容が確認できず購入しなかったので次年度使用額が生じた。
使用計画としては、新型コロナウイルスの流行がある程度落ち着いたらオンライン以外の研究集会も再開されると考えているので、その旅費として使いたい。また本年度に購入できなかった書籍を購入を考えている。
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