2022 Fiscal Year Research-status Report
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19K14497
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| Research Institution | Tokyo Gakugei University |
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Principal Investigator |
相原 琢磨 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (40714150)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 準傾対象 / 準傾変異 / 準傾離散 / 準傾連結 / ボンガルツ型条件 / 三角同値 / 導来同値 / 次数付き微分多元環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主な目的は、多元環に付随する三角圏（導来圏、特異圏、安定圏など）を具体的な方法により解析することである。ここでは特に、導来同値をコントロールしている準傾対象に注目し、与えられた準傾対象から新しい準傾対象を構成するための準傾変異を考える。これにより、様々な計算を線型代数的手法や組み合わせ的手法に帰着させることができる。（準傾変異理論）
この準傾変異理論における大きな問題は「準傾対象の豊富性問題」である。つまり、準傾対象が準傾変異によってすべて記述しきれるのか・記述しきれないほど多く存在するのかという問題である。準傾変異によってすべての準傾対象を記述できるとき、「準傾連結性を満たす」といい、準傾対象が（本質的に）有限個となるとき、「準傾離散性を満たす」という。本研究では主に、いつ準傾連結性・準傾離散性を満たすかを解明することを目標とする。
令和４年度は特に、「準傾離散性はいつ遺伝されるか」という問いについて研究を行った。例えば、三角圏同値（導来同値）はいつでも準傾離散性を保存し、また、準傾離散な多元環への局所環のテンソルでも準傾離散性が保たれることが知られている。さらに、今年度の研究によって、１：準傾離散な三角圏の充満部分圏、２：準傾還元に付随するdg多元環へも準傾離散性が遺伝することがわかった。これにより、１’：べき等元による切断、２’：階層化べき等元による剰余環に対しても準傾離散性が保存されることがわかった。
これらの主結果により、様々な新しい準傾離散な多元環を発見し、さらに、単連結多元環のテンソルが準傾連結性を満たす条件を完全に分類した。また、有限表現型の自己入射的多元環が必ずしも準傾離散性を満たすわけではないことを理解することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の大きな目標である「準傾対象の豊富性問題」に対して、（本質的に）有限である場合（準傾離散性）がどのくらい現れるかを深く理解することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も「準傾対象の豊富性問題」に取り組み、解決を目指し研究を行う。さらに、密接に関係する「ボンガルツ型条件」について、最近になって様々な研究者により大きな進展があったため、この問題についても取り組んでいく。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響が続き、オンラインで行われる研究集会やセミナーがあったため、未使用分が生じた。
次年度においても、研究課題に関わる出張および図書の購入費として計上する。
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