2021 Fiscal Year Research-status Report
正規反射的凸多面体に付随するδ多項式のunimodal性に関する研究
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19K14505
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
土谷 昭善 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員 (30836953)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 格子凸多面体 / 正規性 / 反射的凸多面体 / Ehrhart多項式 / unimodal性 / γ-positive性 / real-rooted性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
格子凸多面体に含まれる格子点の数え上げに関する研究は組合せ論だけでなく可換環論や代数幾何学といった様々な分野に現れる基本的かつ重要な研究である．当該研究目的は特に正規反射的凸多面体に焦点を当て，Stanleyのunimodal予想，小田予想，そしてGal予想から派生される問題の解決を目指すものである．
今年度の研究では，University of UtahのSelvi Kara氏とMax Plank Institute LeipzigのIrem Portakal氏との共同研究により，有向グラフに付随する辺凸多面体の全ての２次元面が三角形となるグラフの分類を行なった．特に対称辺凸多面体に制限すると，上記の条件はグラフが６辺以上の偶サイクルを部分グラフとして持たないことが同値となる．応用として，この場合に対応するGorensteinトーリックFano多様体が剛性を持つ，つまり無限小変形が自明なものしか存在しないことがわかった．面の構造決定は，格子点の数え上げに関する多項式であるh*多項式を計算する上で非常に重要であるため，今後の研究に活かせることが期待できる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
対称辺凸多面体の２次元の面の構造を決定でき，特に対応する対応するGonresteinトーリックFano多様体の幾何学的性質である剛性を証明できたなど，着実に結果を得ており，さらに面の構造決定はh*多項式の計算に関係するため，今後の研究の発展が大きく見込まれるため．
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| Strategy for Future Research Activity |
対称辺凸多面体の3次元以上の面の構造がまだ得られていないため，まずは3次元面の構造について調べる．面の構造に関する結果を用いて対称辺凸多面体のh*多項式を計算し，それがγ-positiveとなることの証明を目指す．
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| Causes of Carryover |
COVID-19の影響により海外及び国内での研究集会の参加および研究打ち合わせの実施ができなかったため次年度使用額が生じた．翌年度は予定より長期で国内及び国外の研究機関に滞在し研究打ち合わせを行うことで助成金を使用する．
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