2022 Fiscal Year Annual Research Report
正規反射的凸多面体に付随するδ多項式のunimodal性に関する研究
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19K14505
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| Research Institution | Toho University |
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Principal Investigator |
土谷 昭善 東邦大学, 理学部, 講師 (30836953)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 格子凸多面体 / 正規性 / 反射的凸多面体 / Ehrhart多項式 / unimodal性 / γ-positive性 / real-rooted性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
格子凸多面体に含まれる格子点の数え上げに関する研究は組合せ論だけではなく可換環論や代数幾何学といった様々な分野に現れる基本的かつ重要な研究である．当該研究目的は特に正規反射的凸多面体に焦点を当て，Stanleyのunimodal予想，小田予想，そしてGal予想から派生される問題の解決を目指すものである．
今年度の研究では非特異偏極トーリック多様体の分類に関して取り組んだ．実際，断面種数，あるいはδ種数を固定すれば，そのような非特異偏極トーリック多様体は高々有限個しか存在しないことがわかり，種数が小さいものに対しては具体的に分類ができた．
研究期間全体を通して，本研究では大きく2つの研究成果をあげた．一つは，正規反射的凸多面体のh*多項式がいつγ非負になるかという研究で，豊穣順序凸多面体と豊穣鎖凸多面体，B型対称辺凸多面体のh*多項式がγ非負であることを示し，またA型対称辺凸多面体と局所的アンチブロッキング凸多面体のh*多項式がγ非負となる予想を提唱し，多くの場合でそれが正しいことを示した．この予想は現在，国内外の他のグループの研究者も取り組んでいるなど，注目されている．
もう一つは偏極トーリック多様体の代数幾何的性質を，付随する格子凸多面体の言葉に翻訳する研究で，実際，偏極トーリック多様体がCastelnuovoとなる同値条件を，付随する格子凸多面体の組合せ論的性質で与えることに成功した．その結果を使い，これまで知られていなかった凸多面体のクラスにおいて小田予想が成り立つことを示した．
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