2019 Fiscal Year Research-status Report
Study of algebraic solutions of the differential equations determined by isomonodromic deformations
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19K14506
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
光明 新 神戸大学, 数理・データサイエンスセンター, 講師 (90760976)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | モノドロミー保存変形 / ガルニエ系 / ハミルトニアン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 前年度から引き続きガルニエ系の代数解についての研究を行なった。 Girand氏のガルニエ系の代数解の研究を一般化することで、2(n-1)変数のガルニエ系の代数解を新しく構成することに成功し、 この成果を論文にまとめた。学術誌Annales de la Faculte des Sciences de Toulouseへのこの論文の掲載が決定した。
2. 見かけの特異点を用いたモノドロミー保存変形のハミルトニアンの記述についての研究を行った。特に射影直線上の接続のモノドロミー保存変形を扱った。射影直線上の接続で特異点がregularなものに限る場合についてはDubrovinとMazzoccoによる研究があるので、その研究をirregularな特異点を許す場合に拡張することを試みた。最近のDiarraとLorayによる接続の標準形についての研究があり、この研究をモノドロミー保存変形のハミルトニアンの問題に応用した。その結果、接続の階数が2の場合に、irregularな特異点を許す場合に拡張することに成功した。この結果はプレプリントにまとめられ現在投稿中である。
DiarraとLorayは、不確定ガルニエ系と呼ばれるirregularな特異点を許す射影直線上の接続のモノドロミー保存変形を記述する方程式の代数解の分類の研究を行っている。その分類の中には、不確定ガルニエ系の明示的な式が知られていないために、代数解を明示的に与えることができていない例が１つ存在する。本研究の結果を用いればこのタイプの不確定ガルニエ系の明示的な式を求めることができる。これを用いれば、この代数解を明示的に求めることができると期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度に主に二つの研究成果を得た。１つ目はGirand氏のガルニエ系の代数解の研究を一般化する研究で、これに成功し学術誌への掲載が決定した。２つ目は2階のirregularな特異点を許す射影直線上の接続のモノドロミー保存変形のハミルトニアンの明示的記述を与えたことである。またこの研究を応用すれば、まだ明示的な式が知られていない不確定ガルニエ系の代数解が得られることが期待されるため、概ね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は該当年度に得られた、irregularな特異点を許す射影直線上の接続のモノドロミー保存変形のハミルトニアンの明示的記述についての研究を不確定ガルニエ系の代数解の研究への応用を試みる。またモノドロミー保存変形をより深く理解するために接続のモジュライ空間や指標多様体の幾何学的な構造を調べる。例えば、接続のモジュライ空間のシンプレクティック幾何学はモノドロミー保存変形のハミルトン系としての理解に欠かせない。また、曲面の写像類群の指標多様体への作用が自然に定義されるが、この作用はガルニエ系などのモノドロミー保存変形を記述する方程式の代数解と深く関係する。
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