2019 Fiscal Year Research-status Report

シンプレクティック群上の新谷関数とその保型L関数への応用

Research Project

Project/Area Number	19K14507
Research Institution	Kyoto Sangyo University
Principal Investigator	源嶋孝太京都産業大学, 理学部, 研究員 (20839196)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords	Murase-Sugano型ゼータ積分
Outline of Annual Research Achievements	今年度は、積分表示をもつ保型L-関数の解析的性質、および特殊値の研究を行った。得られた結果の概要は以下の通りである。 1.　4次の一般斜交群に対するMurase-Sugano型の大域ゼータ積分を定式化し、基本等式(basic identity)の証明を行った。また、昨年度までに得られた局所ゼータ積分に関する公式を用いて、考える保型形式がSiegelモジュラー形式である場合に、この大域ゼータ積分がスピンL-関数を表すことを示し、スピンL-関数の解析接続の別証明を得た。 2.　レベル付きの楕円モジュラー形式に関するRankin-Selberg L-関数の臨界値の研究を行った。特に、G.Shimuraによる代数性の証明の中に現れる概正則モジュラー形式の正則射影のFourier係数に対する公式を証明し、それを用いてRankin-Selberg L-関数の臨界値に対する明示公式を得た。また、その証明の系として、Rankin-Selberg L-関数の臨界値による楕円カスプ形式の特徴づけを与えた。 3.　上記2の手法をおおむね踏襲し、三重積L-関数の中心臨界点と、もっとも右端にある臨界点における特殊値に対して明示公式を証明した。これは大阪大学の福永健吾氏との共同研究である。今後は、正則とは限らないSiegel保型形式について、Murase-Sugano型の大域ゼータ積分とスピンL-関数の関係を探ろうと考えている。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 4次の一般斜交群に対するMurase-Sugano型の大域ゼータ積分を定式化し、考える保型形式がSiegelモジュラー形式である場合に、関連するスピンL-関数のMurase-Sugano型積分表示を得ることができたため。
Strategy for Future Research Activity	正則とは限らないSiegel保型形式に対して、同様のMurase-Sugano型の積分表示を得るためには、対応する局所Shintani関数の明示公式の証明が不可欠である。特に、実素点における局所Shintani関数の明示公式、およびそれによる局所ゼータ積分の計算を行う。
Causes of Carryover	新型コロナウイルス感染症の流行により予定されていた出張がキャンセルされたため、次年度使用額が生じた。研究設備の整備、国内外の研究集会における情報収集および研究発表のために用いる予定である。