シンプレクティック群上の新谷関数とその保型L関数への応用

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K14507
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 源嶋 孝太 大阪大学, 理学研究科, 招へい研究員 (20839196)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 新谷関数 / Siegelモジュラー形式 / Siegel保型形式 / 保型L関数

Outline of Annual Research Achievements

今年度は、前年度に得られた、次数２のSiegelモジュラー形式に関するスピンL-関数の村瀬--菅野型ゼータ積分表示を用いたスピンL-関数の解析的性質の研究と、正則とは限らないSiegel保型形式に関する新谷関数の明示公式の研究を行った。
（１）前年度に得られたSiegelモジュラー形式に関する村瀬--菅野型ゼータ積分について、非積分関数として現れる６次のスピン群上のEisenstein級数のFourier展開の定数項を計算し、村瀬--菅野型ゼータ積分の関数等式を示した。これは次数２のSiegelモジュラー形式に関するスピンL-関数の関数等式の別証明を与える。
（２）正則とは限らないSiegel保型形式に関する保型L関数の村瀬--菅野型ゼータ積分表示の理論を進めるため、次数４の斜交群の（非ユニタリ）主系列表現に対する新谷関数の研究を行った。具体的には不変展開環の中心の作用を書き下し、主系列表現に対する新谷関数のみたすべき微分方程式を導出した。
今後は（２）で得られた微分方程式の解を構成することによって新谷関数の明示公式の導出を目指す。また、その明示公式を用いて局所ゼータ積分を計算し、村瀬--菅野型ゼータ積分とスピンL関数の関係を明らかにする。（１）で得られたスピンＬ-関数の積分表示と合わせて、村瀬-菅野型ゼータ積分の保型L-関数の特殊値への応用を目指したい。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

主系列表現に対する新谷関数のみたす微分方程式がうまく得られたものの、その方程式は非常に複雑で解の構成に対する見通しが立っていないため。また、新型コロナウイルスの世界的な流行により研究成果の発表を予定通り行えなかったため。

Strategy for Future Research Activity

積分表示を用いた保型L-関数の特殊値の研究にはしばしばEisenstein級数が重要な役割を果たす。Eisenstein級数のFourier展開の研究も必要に応じて行いたい。

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの流行により思うように研究成果発表ができなかったため、次年度使用額が生じた。次年度以降、オンラインによる公演が主になると考えられるが、可能であれば状況に応じて出張講演を行いたい。