2022 Fiscal Year Research-status Report
シンプレクティック群上の新谷関数とその保型L関数への応用
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19K14507
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
源嶋 孝太 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (20839196)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 新谷関数 / 非正則保型形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はシンプレクティック群とSL(2)×SL(2)、または2次の複素特殊線形群上の保型形式に対する新谷関数の明示公式の研究、およびその応用に関する情報収集を行った。
新谷関数は村瀬--菅野型のゼータ積分を用いた保型L-関数の構成において中心的な役割を果たす特殊関数である。しかし、無限素点における局所新谷関数の研究は十分に進んでいるとは言えず、今後の発展が期待される。また、新谷関数は表現の分岐則とも関係し、保型形式論のみならず表現論の立場からも興味深い研究対象である。
本年度は、半単純階数2のシンプレクティック群の主系列表現に対応する保型形式に関する新谷関数のみたす微分(-差分)方程式を導出した。また、保型形式がスカラー値である場合に、その微分方程式の解を構成することで、新谷関数の明示公式を証明した。
今後はシンプレクティック群の主系列表現に対応する保型形式がスカラー値でない場合に新谷関数明示公式の導出を試みる。また、得られた明示公式を用いて村瀬--菅野型のゼータ積分を計算することにより、保型L-関数の解析接続や関数等式、特殊値への応用についても考えたい。
また、前年度に得られた結果である、楕円モジュラー形式に付随するランキン--セルバーグL-関数の特殊値の明示公式、integrality、およびランキン--セルバーグL-関数の特殊値を用いた保型形式の特徴づけについて研究発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究課題における目標は新谷関数の保型L-関数への応用である。しかし、新谷関数のみたす微分-差分方程式を導出し、特殊な場合にその解を見出したものの、一般には方程式が複雑で解を構成することができておらず、応用には至っていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
考えている表現の極小K-タイプの次元が大きいほど、新谷関数のみたす微分-差分方程式が複雑になり、その解を構成することは難しくなる。Zuckermanの手法を用いて、表現のK-タイプの次元に関する帰納的な公式の導出を試み、一般的な場合に新谷関数の明示公式を考察したい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の流行により、当初予定していた研究発表のための出張が取りやめになった。現在、感染症に対する混乱は収まりつつあるものの、研究集会の形態が変わり、現場に行かなくてもオンラインで講演ができるようになり、その分旅費が抑えられた。しかし、他の研究者との議論のためにも今後は国内外問わず積極的に現場に赴き、研究集会や共同研究者との打ち合わせを行いたいと考えている。
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