2019 Fiscal Year Research-status Report
Arithmetic Geometry via Higher Dimensional Algebraic Geometry
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19K14512
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
谷本 祥 熊本大学, 大学院先導機構, 准教授 (10785786)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Manin予想 / 有理点 / 有理曲線 / モジュライ / 極小モデル理論 / BAB予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Manin予想の例外集合の幾何学の研究については、2018年度にarXivに発表した論文の改訂作業に多くを費やした。特にレフリーの要望に応え、証明をより精密かつ厳密にし、さらに複数の新しい例を論文に加えた。論文は今現在も査読中である。さらに、複数の海外の研究者と有理点と整数点の間に位置するCampana点のManin予想を定式化し、ベクトル空間の同変コンパクト化に対して、Campana点のManin予想を証明した。証明はアデール郡上の調和解析を利用している。論文にまとめ、arXivにアップロードし、さらに学術雑誌に投稿した。将来的にはCampana点のManin予想の例外集合の幾何学を調べていきたい。
Fano多様体上の有理曲線のモジュライにまつわる幾何的Manin予想ついての研究では、まず幾何的Manin予想を定式化した論文が2019度Compositio Mathematicaに出版された。さらに、Picard数が1であるFano3次元多様体の幾何的Manin予想を調べた論文はJournal of Algebraic Geometryに受理され、オンライン上では出版された。さらに射影直線上のdel Pezzo束のセクションに対する動的曲げ折り法を開発し、del Pezzo束のセクションのBatyrev予想を解決した。さらに、幾何的Manin予想、Abel-Jacobi写像、Gromov-Witten不変量などへの応用も見つけた。これらの結果を論文にまとめた。arXivにアップロードし、現在雑誌に投稿中である。また、一般の曲線上のdel Pezzo束に対する動的曲げ折り法を証明中であり、2020年度に発表予定である。また、Picard数が2以上のFano3次元多様体についても取り組んでいる。2020年度中の発表を目指す。
さらに、偏極多様体に対するSeshadri定数の類似の不変量を考え、それを用いて数え上げ関数の上界を一般の偏極多様体に対して与えた論文がAlgebra & Number Theoryに受理された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Campana点のManin予想を定式化できたことと、del Pezzo束のセクションの理解が予想以上にうまくいったので。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、2020年度は一般の曲線上のdel Pezzo束の動的曲げ折り法を完成させる。さらに3次元Fano多様体に対しても、動的曲げ折り法を証明して、Batyrev予想の解決を目指す。さらに、正標数の幾何的Manin予想にも取り組む。
さらに、Campana点に対するログManin予想の例を増やすべく半単純群のワンダフルコンパクト化の場合を共同研究者と調べる。
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| Causes of Carryover |
Covid-19の影響で、いくつかの出張がキャンセルになったため、次年度使用額が発生した。出張は2020年度に延期になったので、2020年度に行い未使用分を使用したい。
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