2020 Fiscal Year Research-status Report
総実代数体上への志村谷山予想の一般化とアーベル曲面の保型性への応用
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19K14514
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
吉川 祥 学習院大学, 理学部, 助教 (10803736)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 楕円曲線 / ガロア表現 / 有理点 / モジュラー曲線 / 保型表現 / モジュラー形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度から引き続き、より広いクラスの楕円曲線に対して保型性を証明する研究を行っている。用いる手法は、Mazur-RubinによるDiophantine Stabilityの理論である。これは、代数体上で定義されたアーベル多様体の階数が体拡大によって増大しないための条件を提示するもので、この理論を具体的なモジュラー曲線X_0(15)やX_0(21)に適用し、楕円曲線の保型性への応用を得ようというものである。Mazur-Rubinの一般論で示されている統計的な結果（ある条件を満たす素点の密度が正というタイプの主張）を、我々の具体的な状況で考えることにより、一般論よりも強い結果を得られることを期待し取り組んでいる。しかし、この「具体化」の部分が困難（しかし研究成果とするためには最も重要）であるため、今のところ特筆すべき進展は得られていない。
一方で新しい方向性の模索として、保型性持ち上げ定理の応用と言える２つの結果に着目し、新たなアイディアを得られるよう努めている。ひとつはKhare-ThorneによるCM体のGalois群の二次元法p表現の保型性に関する結果である。着目の理由は、この論文で展開されている2-3トリックと呼ばれる手法と、2進表現に対する保型性持ち上げ定理を合わせることで、本研究への応用（楕円曲線の保型性）が見込めるためである。もうひとつはNewton-ThorneによるGL2/Qの保型表現に対するSymmetric power functorialityの証明である。この論文におけるeigencurveとeigenvarietiesの応用法は強力で新しい見地を与えており、今後、更なる応用が期待されるためである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
Mazur-Rubinの結果をよりうまく運用するには、GaloisコホモロジーやSelmer群に関する深い理解が必要である。そういった理解が不十分であるため、停滞している状況を打破できていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、計画の遅れの理由として挙げたが、Mazur-Rubinの運用に必要な技術的背景を固める。
それと同時に、モジュラー形式の係数について先行研究で知られていることについて調べる。本研究でMazur-Rubinを適用するモジュラー曲線X_0(15),X_0(21)（これら自身が有理数体上の楕円曲線）から、対応するモジュラー形式を具体的にとることが出来るが、そのモジュラー形式を調べることでX_0(15),X_0(21)に関する情報を引き出したいためである。
また、Khare-ThorneやNewton-Thorneの結果を引き続き吟味し、発展的なアイディアを得られるように努める。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍において、計画していた国内外の出張がすべて不可能になったため、当初の予定より使用額が大幅に減った。今後の使用計画としては、状況に応じて（可能な時に）国内出張を行う、オンラインでの研究環境を整える、必要な書籍を購入する、ということを検討している。
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