2019 Fiscal Year Research-status Report
Investigation of similarities in representation theory of quantum affine algebras of several different Dynkin types
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19K14515
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
大矢 浩徳 芝浦工業大学, システム理工学部, 助教 (90835505)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子ループ代数 / 量子Grothendieck環 / q-指標 / 団代数 / Newton-Okounkov凸体 / Schubert多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，David Hernandez氏との議論を通じて，A_{2n-1}^{(1)}型とB_n^{(1)}型の量子ループ代数の有限次元表現圏の量子Grothendieck環の間に良い同型が構成できることの証明を行った．これまでに報告者はHernandez氏と共同で，それぞれの型の有限次元表現圏においてある部分圏を取ると，対応する量子Grothendieck環の間に同型が存在することを証明していたが，本年度の結果はこれを部分圏を取らない場合に拡張するものである．これとKashiwara-Kim-Ohによって得られた通常のGrothendieck環における同型を比較することにより，B_n型の量子ループ代数の有限次元既約表現のq-指標がKazhdan-Lusztigアルゴリズムによって求められるという表現論における重要事実が証明される．今後はA_{2n-1}^{(1)}/B_n^{(1)}型以外の他のDynkin型の組の場合に同様の量子Grothendieck環の間の同型を証明することを目指し，論文にまとめる予定である．
また別の方向性の研究として，Schubert多様体(のあるアフィン開集合)の関数環が持つ団代数構造から定まるSchubert多様体の関数体上の付値を考え， そこからNewton-Okounkov凸体と呼ばれる凸体を構成すると，これが表現論的に得られる凸体(String多面体，中島-Zelevinsky多面体)と同値なものになるという事実を藤田直樹氏との共同研究で証明した．本研究については当初の研究計画には記載していなかったが，本研究課題において重要な団代数についての知見を深める中で得られた結果であり，計画を変更して藤田直樹氏との共著論文としてこの内容をまとめた．この論文は現在論文誌に投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は主に以下の3つの研究を並行して行った：
1) 異なるDynkin型の量子ループ代数の有限次元表現圏の量子Grothendieck群の間の同型の証明
2) Schubert多様体の団代数構造から定まるNewton-Okounkov凸体と表現論的多面体との関係の研究
3) 高次Teichmuller理論に現れる点付き曲面上の局所系(+付加データ)のモジュライ空間上のある良い関数のクラスター座標を用いた記述
2)の内容は藤田直樹氏との共著論文としてまとめ，現在論文誌に投稿中，3)の内容は石橋典氏との共同研究で現在論文執筆中である．1)が本研究課題の中心となるテーマであり，本年度中にA_{2n-1}^{(1)}/B_n^{(1)}型以外の他のDynkin型の組に関しても対応する量子ループ代数の有限次元表現圏の量子Grothendieck環の間の同型を証明する予定であったが，2)，3)という当初の研究計画に含めていなかった方面での進展があったため，次年度に持ち越しとなった．なお，本研究課題においては団代数の理論を本質的に用いるので，本年度は団代数に関連する研究集会やセミナーに積極的に参加して団代数に関連する情報を多く収集した．その結果，2)や3)の共同研究も生まれたため，これは当初計画した研究の道筋から大きく外れるものではないとみなしている．実際にこれらの共同研究を通じて，量子ループ代数の表現論に現れる団代数構造への理解もさらに深まっており，まだ直接の数学的関係は付けられていないものの，もともとの研究計画の遂行にあたっても有益な進捗であったと考えている．
以上をまとめると1)についてはやや遅れたが，一方で2)や3)という当初の予定に含めていなかった部分での進展が得られたということになるので，本研究課題の初年度としてはおおむね順調に進展していると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
点付き曲面上の局所系(+付加データ)のモジュライ空間上のある良い関数のクラスター座標を用いた記述に関しては現在論文執筆の途中なので，まずはこれを完成させる．
その後は，当初の研究計画に戻り，A_{2n-1}^{(1)}/B_n^{(1)}型以外の他のDynkin型の組に関しても対応する量子ループ代数の有限次元表現圏の量子Grothendieck環の間の同型を証明し，これを論文にまとめる予定である．さらに，これが完成した場合には自身の証明した同型の精緻化として，同型で対応する既約表現の(q, t)-指標の間の具体的な変換公式を与えることを目指す. 報告者はここでも，(量子) 団代数構造を用いた純代数的アプローチが本質的に重要になると予想している. 実際にこのようなアプローチから小さな例に関しては変換公式が得られる状況が確認されているが，より大きなランクにおける例の計算を行い，状況を定式化することを目指す．本研究のアプローチで得られる結果は非対称型の量子ループ代数の表現論の理解を進めるだけでなく，様々な型の量子ループ代数の有限次元表現論の間の類似性を確立しているという点で興味深い．よって，この類似性の内在的な原因を理解することも本研究が順調に進んだ際に取り組むべき課題であると思われる．しかし，これに関しては現在のところ具体的な方策はまだ持っておらず，現在自身が用いている手法では難しいことも予想しているので，新たなアプローチを模索してゆく予定である．
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| Causes of Carryover |
大阪市立大学数学研究所において2020年3月2～6日に行われる予定であったInfinite Analysis 20 Workshopにおいて，自身の本年度の研究成果について講演を行う予定であったが，新型コロナウイルスの感染拡大の影響により中止となった．このため，このWorkshopへの参加のために使用する予定であった経費が使用されず，また年度末であったため，他に振り替えて2019年度内に科研費を使用する理由もなかったため，次年度に持ち越すこととなった．
2020年度も引き続き，新型コロナウイルスの感染拡大の影響による研究集会・セミナーのオンライン化が予想されるため，オンライン講演を行うのに適したタブレット端末を購入する予定である．
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| Remarks |
Naoki Fujita and Hironori Oya, ``Newton-Okounkov polytopes of Schubert varieties arising from cluster structures'', preprint, arXiv:2002.09912. 投稿中．
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Research Products
(5 results)
