2021 Fiscal Year Research-status Report
Investigation of similarities in representation theory of quantum affine algebras of several different Dynkin types
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19K14515
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
大矢 浩徳 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (90835505)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子ループ代数 / 量子Grothendieck環 / (q,t)-指標 / クラスター代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までのパリ大学の藤田遼氏，David Hernandez氏と梨花女子大学校のSe-jin Oh氏との共同研究で，複素単純Lie環g_1, g_2に対して，そのunfoldingとして現れる複素単純Lie環が等しい場合，g_1, g_2のそれぞれに対応する量子ループ代数の有限次元表現圏の量子Grothendieck環らの間に単純(q,t)-指標を保つ同型が存在することを示していた．これにより特に，A_{2n-1}型とB_n型，D_{n+1}型とC_n型，E_6型とF_4型，D_4型とG_2型という複素単純Lie環の組に対して，対応する量子ループ代数の有限次元表現圏の量子Grothendieck環が単純(q,t)-指標を保つ形で同型になることがわかる．さらにこの結果の応用として，非対称型の場合の単純(q,t)-指標の積の構造定数の正値性や，B_n型量子ループ代数の有限次元既約表現のq-指標が単純(q,t)-指標のt=1の特殊化で得られることなどがわかっていた．
我々の量子Grothendieck環の同型から定まる単純(q,t)-指標の対応は，最高l-ウェイトを用いては書き下せるものであったが，一方で最高l-ウェイトだけでなく，(q,t)-指標全体としてどのような関係にあるもの同士が対応しあっているのかということについては依然不明瞭であった．そこで，本年度は上記同型で定まる単純(q,t)-指標らの対応をより具体的なものとするため，(量子)Grothendieck環の(量子)クラスター代数構造に着目し，実際に複素単純Lie環のランクが小さい場合に，単純(q,t)-指標の間の変換公式を導出した．ここで計算に用いた手法自体は上に述べた複素単純Lie環の組一般に対して適用可能なものであると考えられたため，この計算結果を一般化し，論文の形にまとめることは次年度の課題とする．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は，我々が昨年度構成した量子Grothendieck環の間の同型を，単純(q,t)-指標の具体的な変換公式という形で完全に記述し，論文の形にまとめるということを目標にしていたが，実際にはランクの小さな場合で例の計算を行い，示すべきことや今後取り組むべき問題を定式化したところまでしか至れなかった．一方で，例の計算においては当初から期待していた形の結果が得られたため，研究計画は変更なく当初の予定通り進められることが期待される．
また本年度は，藤田氏，Hernandez氏，Oh氏との最初の共著論文の雑誌掲載が決定し，さらに石橋典氏，Linhui Shen氏との共同研究を通して，点付き曲面上の飾り付きG-局所系のモジュライ空間に付随するクラスター代数に関するA=U問題が肯定的に解決されるといったように一定の進捗は見られた．後者については現在のところ量子ループ代数の表現論との直接の関係は見られないが，ここで現れるクラスター代数は量子Grothendieck環の部分代数として現れるクラスター代数と類似したものであり，このクラスター代数についての知見が深まったことは今後の量子Grothendieck環の研究においても有用なことであると考えられる．
さらに，本年度は昨年度得られた量子Grothendieck環の間の同型およびその応用に関する結果をオンライン研究集会"Infinite Analysis 21", "Quantum Groups and Cluster Algebras"で報告することができた．また，量子ループ代数の表現論の研究を含む報告者の研究においてたびたび重要になる捻り写像について，日本数学会2021年度秋季総合分科会の無限可積分系セッション特別講演においてこれまでに得られた知見をまとめる形の講演を行った．
以上を総合的に考え，おおむね順調に進んでいると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は本研究課題の最終年度であるため，まずは，我々が昨年度得た量子Grothendieck環の間の同型を単純(q,t)-指標の具体的な変換公式という形で記述することについて，論文の形にまとめて発表することを目指す．さらに，上記の研究が成功した場合にはHernandez氏，神保氏によって組織的な研究が始められた量子ループ代数のBorel部分代数の既約表現のq-指標についても，異なるDynkin型を移りあうような変換公式が得られるかという問題について考察を行う．量子ループ代数のBorel部分代数の表現論は，量子ループ代数の有限次元表現論を含んでおり，これまでに得られた手法なども一部は適用可能であることを期待している．
さらに我々の同型をより自然に理解・構成するためには，現在の量子Grothendieck環の代数的構造にのみに着目した純代数的アプローチだけではなく，量子ループ代数の有限次元表現圏そのものを直接扱うような，表現論的手法をとる必要があると思われる．しかし，これについては現在のところ報告者は有効性を期待される手法を持ち合わせていない．このため，これについては将来の研究課題とし，次年度は単純(q,t)-指標の変換公式の結果などを参考にこの方向の手がかりを探ることを目指す．なお，異なるDynkin型の量子ループ代数の有限次元表現圏そのものの間に関連を見出すという方向については，箙Hecke代数の表現圏との関連を用いた一般化量子アフィンSchur-Weyl双対性を用いるものが現在進んでおり，柏原氏，Kim氏，Oh氏，Park氏らのグループの研究，藤田氏，直井氏による研究が代表的な結果として挙げられる．これらの研究結果は量子Grothendieck環の間の同型の概念的な理解においても重要であると考えられるため，引き続き情報収集を続ける．
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| Causes of Carryover |
2021年度も新型コロナウイルスの感染拡大の影響は収まらず，多くの研究打ち合わせ・国内外研究集会が中止，あるいはオンラインで実施されることとなった．このため，出張旅費として使用を計画していた予算が使用されず，次年度に持ち越すこととなった．
2022年度は本研究課題の最終年度となるため，新型コロナウイルスの感染拡大の影響が収まれば，予算の一部を旅費として使用して必要な出張を行い，これまでの研究成果の発表を積極的に行う予定である．また，2022年度も年度の途中で新型コロナウイルスの感染拡大の影響により，出張旅費としての予算の使用が難しい見通しとなった場合には，オンラインでの研究打ち合わせの環境を整備するため，Web会議用カメラ，および十分な大きさのあるPCモニター，タブレット端末の購入を必要に応じて行う予定である．
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