2020 Fiscal Year Research-status Report
Complete reducibility, geometric invariant theory, spherical buildings: a new approach to representations of algebraic groups
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19K14516
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| Research Institution | Soka University |
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Principal Investigator |
内山 智博 創価大学, 国際教養学部, 講師 (60822088)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 代数群 / 代数幾何学 / 組み合わせ幾何学 / 数論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度ドイツに滞在中に二人の共同研究者とスタートした研究を完成させ論文にまとめ、その論文: "Complete reducibility of subgroups of reductive algebraic groups over nonperfect fields IV: An F_4 example"を国際的な論文誌に投稿した。本論文では群論、代数幾何学、組み合わせ幾何学という３つの異なる分野の数学を組み合わせて、代数群における完全規約性の概念について考察した。特に本論文では完全規約性に関するRationalityの問題に取り組み、Fieldがnonperfectである際に、特別な現象が見られることを示した。さらに、近年数論への応用で盛んに研究されているPseudo-reductive groupsと完全規約性の概念の関係を示した。また、J.Titsによって提唱されたビルディングの理論における"Tits center conjecture"と代数群の完全規約性が直接関係していることを示した。
またこれに加えて、ドイツ滞在中にスタートさせたもう一つの共同研究をズームによるディスカッションを通じて継続し、その結果をプレプリント: "Complete reducibility, Kulshammer's question, conjugacy classes: An F_4 example"にまとめた。今後修正を加えたのちに本論文も国際的な論文誌に投稿する予定である。本論文では代数群の完全規約性の問題と、有限群の表現論の問題と、Conjugacy classの数の問題が密接に結びついていることを示し、著名な数学者（B.Kulshammer)が提示したOpen problemに対する回答を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究はドイツ人、イギリス人研究者との共同研究であり、当初は1年に２～３回ほど渡欧して研究をする予定であったが、コロナ禍となり全く渡欧出来なくなってしまった。代わりとしてズームによるディスカッションを続けているが、対面で共同研究するよりはやはり非効率であり、研究のスピードが落ちてしまっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
ドイツ、イギリスの共同研究者たちと今後もズームによるディスカッションを通じてできるだけ研究を進めていく予定である。長期にわたるコロナ禍でズームによる共同研究にも慣れ、さまざまな国際学会などもオンラインで開催されるようになってきているので、今年度は昨年度よりは効率的に研究が進むと考えらえれ、またオンライン学会で発表、議論する機会もあると想定している。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で予定していたヨーロッパでの共同研究、学会発表などが出来なかったため。
コロナ禍が終了し、渡欧できれば今年度中に共同研究を再開させる予定である。コロナ禍が終了しなければコンピュータを複数台購入して、オンラインで共同研究を行う。
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