2020 Fiscal Year Research-status Report

Structure and Representations of Infinite-dimensional Algebraic Supergroups

Research Project

Project/Area Number	19K14517
Research Institution	Okayama University of Science
Principal Investigator	柴田大樹岡山理科大学, 理学部, 助教 (90804055)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2022-03-31
Keywords	スーパー代数群 / 積分理論 / 中山関手 / アフィン型Kac-Moody群
Outline of Annual Research Achievements	増岡彰氏，島田祐太氏とのスーパー代数群の積分に関する共著論文「Affine algebraic super-groups with integral」を国際雑誌に投稿した．この結果はスーパー代数群の商およびその表現が，積分の観点からコントロールできるという意味で意義がある．清水健一氏との共同研究により，ホップ代数の積分と関連がある（修正）トレースの理論を，中山関手を用いることで既存の結果を含む形で一般化した．この結果はこれまで具体的な対象に関する個別のテクニックが知られていたが，一般的な立場から研究のアプローチを与えているという意味でスーパー化する際に重要である．プレプリントは「Modified traces and the Nakayama functor」というタイトルでarXivに公開し，現在国際雑誌に投稿中である．また同氏との共著論文「Categorical aspects of cointegrals on quasi-Hopf algebras」がJournal of Algebraに受理され出版された． A.Pianzola氏，森田純氏との共同研究により，無限次元代数群であるアフィン型Kac-Moody群に関する共同研究として(1)その構造論と(2)そのホップ代数的特徴付けに関するプレプリントを得た．特に(1)に関しては「Affine Kac-Moody Groups as Twisted Loop Groups obtained by Galois Descent Considerations」というタイトルでarXivに公開している．この結果はアフィン型Kac-Moodyスーパー群の研究をする為には，まず最初に「適当なローラン多項式環上のChevalleyスーパー群を研究するべき」という研究方針を与えることができたという意味で意義深い．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究課題はKac-Moodyスーパー群の構造を研究するものであったが，その研究においては(1)非スーパーの場合にどのような構造をしているのか，また(2)群そのものではなく付加的な情報からどの程度群がコントロールできるかを明確にせねばならない．そのうち(1)に関しては，当初は標数や基礎体に条件を付けていたが今年度になりその制限が解消され，アフィン型に関しては適当なローラン多項式環上のChevalley群の中心拡大で実現されることを示すことができた．さらに進めてホップ代数的な特徴付けを与えることができた．これらは既にプレプリントとして纏めている．他方で(2)に関しては，代数群の積分という情報を用いてスーパー代数群の商および表現に関してまとまった結果を得た．さらに（修正）トレース理論を中山関手の言葉で記述することにより，スーパー理論に適用する際の指針を得ることができた．これは当初予期していなかったことであるが，テンソル圏の立場から見通しの良い議論ができたことは非常に意義がある．また共著論文「Categorical aspects of cointegrals on quasi-Hopf algebras」がJournal of Algebraに受理され出版された．
Strategy for Future Research Activity	Kac-Moodyスーパー群の構造や表現の研究を遂行するにあたり，具体的にChevalleyスーパー群を用いた実現も大切であるが，「現在までの進捗状況」にも記載したように，テンソル圏の立場からの見通しの良い一般論の構築も重要である．従って，今後の研究の推進方策としては，その両者を同時進行する方法をとることにする．このうち前者は当初の研究計画通りであるが，後者は当初の研究計画にはなかった新しい手法である．また全世界的なCOVID-19の影響で，国際研究集会への参加や講演が難しくなっており，当初計画していた旅費や人件費の使用方法に関しても，見直しが必要となっているので状況に応じて適切に運用していきたい．
Causes of Carryover	世界的なCOVID-19の影響で，当初予定していた研究連絡や成果発表に係る出張に関して，国内のみならず海外へ行くことができなくなった．研究計画では支出費用の大半が旅費や研究集会の開催費に充てられていたため，このような理由から次年度使用額が生じてしまった．使用計画としては，今後のCOVID-19の状況によるので見通しを立てることが非常に困難であるが，当面はオンライン環境の整備や書籍・図書などの物品購入を当初の計画より拡充することにより，研究環境の充実を図っていきたい．