Representation theory of quantum affine algebras and its applications in geometry and combinatorics

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K14519
• Research Institution: Ube National College of Technology
• Principal Investigator: 渡邊 悠太 宇部工業高等専門学校, 一般科, 講師 (10824964)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 有限射影幾何 / シュバレー群 / アソシエーションスキーム

Outline of Annual Research Achievements

研究代表者のこれまでの研究で、有限射影幾何の量子アファイン代数の表現論を用いた研究手法を新たに提案し、Grassmann多様体のSchubert胞体の新しい特徴付けなどの結果を得ている。この証明の核心的な部分をより抽象的な枠組みである旗多様体のレベルに拡張しようとする議論を行っている。昨年度は、東北大学のJon Xu氏と共にGrassmann多様体のSchubert胞体の特徴付けを旗多様体の表現を用いて捉え直すことに取り組んだ。
それを踏まえて今年度は、主に次の2点のことに取り組んだ。1点目は、昨年度のGrassmann多様体のSchubert胞体の議論を、より一般的な枠組みであるGrassmannアソシエーションスキームとして展開することである。この枠組みを用いることでErdos-Ko-Rado型の定理などへの応用が期待できるため、それも見据えての取り組みであった。しかしながら、現在も取り組んでいる最中である。2点目は、Grassmann多様体のSchubert胞体から一般の旗多様体のSchubert胞体に拡張する議論である。旗多様体の表現を用いて捉え直すことができていたが、一般の旗多様体にするには一般性が高すぎるため、B型やC型といったGrassmann多様体に近い旗多様体での議論を試みた。Grassmann多様体の性質が使えないため、期待したほどは進めることができなかった。こちらについても次年度も継続して取り組む課題である。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

Grassmann多様体での議論を、Grassmannアソシエーションスキームや一般の旗多様体の枠組みへの拡張することに取り組んだが、Grassmann多様体での特殊事情の取り扱いに手間取っており、十分な成果をあげることができなかった。また、コロナウィルス感染症の影響で研究集会のキャンセルが相次ぎ、情報交換する機会が減ってしまったのも少なからず影響があると考えている。

Strategy for Future Research Activity

今年度に引き続き、Chevalley groupsの枠組みでのGrassmann多様体のSchubert胞体の特徴付けとErdos-Ko-Rado型定理についての論文を完成させることが最初のステップである。そ の後は、Grassmann多様体に限らず他のタイプの旗多様体についても同様の結果を模索する。

Causes of Carryover

研究課題に関する情報収集のため、研究集会・学会に参加する予定であったが、新型コロナウィルス感染症の拡大防止のため、参加予定の集会がすべて中止になってしまった。その結果として主に旅費に割り当てる予定だった予算が余る事となった。コロナウィルス感染症が落ち着いたら昨年度及び今年度から延期していた出張や研究打ち合わせを実施したいと考えているので、繰り越した予算についてはその旅費などに当てたいと考えている。