2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K14521
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| Research Institution | Utsunomiya University |
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Principal Investigator |
國川 慶太 宇都宮大学, 共同教育学部, 助教 (10813165)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | リッチフロー / 熱方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はリッチフローと熱方程式、また調和写像流に関連し研究活動を行い、3つの共著論文を執筆した。これらは、本来の研究課題である平均曲率流とは異なる内容であるが、幾何学的フローの立場では多くの類似点を持っている。本年度の研究成果は、平均曲率流の古代解の研究を進めることにより得られた知見を応用したものになっている。
1つ目の論文では、リーマン計量が時間依存する場合の多様体上の熱方程式の古代解に関してSouplet-Zhang型のLiouville型定理を示した。リーマン計量の時間依存性は、距離関数の時間微分に悪影響を与えるため、これまで良い勾配評価やLiouville型の定理は知られていなかった。そこで我々は、Perelmanによる簡約距離の性質に着目した。それにより、自然な仮定のもとシャープな勾配評価を導出し、新しいLiouville型定理を得ることに成功した。
2つ目の論文では、ある種のノイマン条件を満たす境界付き2次元リッチフローに関して、エントロピーの単調性及び凸性を示した。境界付きリッチフローはまだほとんど先行研究がないが、我々のエントロピー公式は、正のスカラー曲率を持つ境界付きリッチフローの収束を示す際に役立つと思われる。これは今後の課題である。
3つ目の論文では、境界付き多様体上の調和関数及び熱方程式に関して、Dirichlet条件のもとYau型及びSouplet-Zhang型の勾配評価を導出し、Liouville型の定理を示した。これまで境界付き多様体上で類似の結果は知られていなかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初想定していた、平均曲率流に対して定義されるエントロピーという量を用いたII型特異点に関しては思うように研究進んでいない。エントロピーI型特異点及びそのモデルである自己縮小解とは相性が良いのであるが、本研究課題で扱いたいのはII型特異点及びそのモデルである。エントロピーは無限に広がる時空上でとある量の上限を取ることで定義される。この上限を取るという操作のため、扱いが厄介になっている。実はI型特異点の場合にはこの上限を取る必要がない。これがI型が扱いやすい理由である。II型に関しては、何か新しい研究方法を導入しなければならないであろう。2019年度の研究成果で得たエントロピーの局所化（有限近似）が有効なのではないかと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究成果で得た「平均曲率流の2つの単調量が漸近的に一致する」という結果を応用すると、エントロピーを時空のボール上で局所化することができる。今後は、局所化されたエントロピーを用いて具体例の計算をし、その考察をする。特に、II型特異点モデルの代表例であるJoyce-Lee-Tsuiによるラグランジュトランスレーティングソリトンに関してエントロピーの視点から研究を行う予定である。エントロピーの具体的な数値を決定することが目標である。その際、比較的研究が進められているラグランジュ自己縮小解に関する結果を参考にしようと思う。また世界的な動向として、エントロピーの小さい余次元1の古代解の分類が次々と進められている。これを参考にラグランジュ平均曲率流の場合にも、エントロピーの小さい古代解の特徴付けができないか模索しているところである。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスによる感染拡大防止のため、本来想定していた出張、研究打ち合わせに行くことができなかった。感染状況が落ち着いたら、研究課題に関連する研究集会に参加し、また研究打ち合わせなども頻繁にやりたいと考えている。場合によっては、研究集会の主催も検討している。
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| Remarks |
arXivでは発表したが、査読中で雑誌掲載はまだされていない研究成果(論文)はHP内の論文リストから探すことができます。
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