2021 Fiscal Year Research-status Report
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19K14525
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
正井 秀俊 東京工業大学, 理学院, 助教 (40735734)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / ３次元多様体 / 双曲幾何学 / ランダムウォーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
論文「Compactification and distance on Teichmuller space via renormalized volume」を執筆した。本論文は、本研究課題において、ランダム３次元多様体に対して明らかにしたい、主たる不変量である体積について議論するものである。くりこみ体積と呼ばれる３次元閉多様体の体積に密接に関係する不変量を用いてタイヒミュラー空間の上に距離を定義した。そして、その距離における、擬アノソフ写像類の移動距離が、対応する写像トーラスの体積に一致することを示した。本研究課題では、移動距離の"ランダム版"である、ドリフトに対して、体積などの不変量の関係を調べることを目標としており、新しく定義された距離は、本研究の目標達成に向けて非常に有用な情報を与えることが期待される。また、この距離に関しては、様々な興味深い問いをたてることができ、新しい研究の方向性も得られた。
距離の定義に当たり、エルゴード理論が（思いがけない）応用を得ており、ランダム性に着目した本研究課題があってこそのせいかとも言える。
また、McShane氏と共同で執筆した論文「On systoles and ortho spectrum rigidity」が雑誌Mathematische Annalenにアクセプトされたほか、論文「On continuity of drifts of the mapping class group」が雑誌「Mathematical Research Letters 」にて出版された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
論文「Compactification and distance on Teichmuller space via renormalized volume」の結果をまとめることができたことは、本研究課題における、目標達成に向けて大きな進展と言える。一方で、コロナ禍における雑務増加、研究集会のオンライン化によって、その先へ向けた情報収集には課題が残り、次のステップへ進むに当たり多少の困難が予想されているのが現状である。
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| Strategy for Future Research Activity |
論文「Compactification and distance on Teichmuller space via renormalized volume」において、定義した距離について、ランダムウォークのドリフトを考察していく。新たに定義された距離のドリフトと、タイヒミュラー距離、サーストン距離、ヴェイユピーターソン距離などの既存の距離のドリフトを比較する詳細な情報を捉えることを目標として研究していく。また、論文「Compactification and distance on Teichmuller space via renormalized volume」からえらえる諸問題について、１点穴あきトーラスや４点穴あき球面について、具体的な計算を進め、今後の方針を立てていく。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍において、出張がキャンセルされたため。今後、出張が少しずつ実現可能になっていくと予想されるため、生じた次年度使用額は出張に充てていく。
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