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2019 Fiscal Year Research-status Report

平均曲率零曲面の諸理論の統合と計量の符号数に応じた幾何学的性質の探求

Research Project

Project/Area Number 19K14527
Research InstitutionNagoya University

Principal Investigator

赤嶺 新太郎  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 研究員 (50825148)

Project Period (FY) 2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords極大曲面 / 光的点 / Bernstein型定理 / 鏡像の原理 / ミンコフスキー空間
Outline of Annual Research Achievements

平均曲率零曲面の諸理論の統合と計量の符号数に応じた幾何学的性質の探求の研究の一環として,本年度は主に3次元ミンコフスキー空間(時空)内の極大曲面に関する研究を行い,以下の研究成果を得た.
1. Bernstein型定理の拡張に関する研究成果:東京工業大学の梅原雅顕教授と山田光太郎教授と極大曲面に対するBernstein型定理の拡張に関する共同研究を行った.3次元ミンコフスキー空間内の極大曲面に関する大域的な結果として,Calabi-Bernsteinの定理が知られているが,梅原氏-山田氏との共同研究では3次元ユークリッド空間内の極小曲面と時空内の極大曲面に対する流体力学的双対性という一対一対応を用いて,上記の定理を計量の退化点(光的点)を許容した形で証明した.本結果を論文としてまとめ,Proceedings of the American Mathematical Society. Series Bより出版した.

その後,梅原氏-山田氏および横浜国立大学の本田淳史准教授と共同で,上記の結果が一般次元の平均曲率零超曲面に対して成り立つことを明らかにした.共同研究の結果は論文としてまとめられ,Bulletin of the Brazilian Mathematical Societyより先行電子出版された.

2. 極大曲面と極小曲面の双対性に関する研究成果:名古屋大学高等研究院YLC特任助教の藤野弘基氏と極大曲面と極小曲面の境界値問題の双対性に関する研究や極大曲面の光的線分に関する鏡像の原理に関する研究を行い,2編のプレプリントを執筆し,論文を投稿した.とくに,これまでに未解決だった極大曲面上に現れる光的線分に関する鏡像の原理がある条件下で成り立つことを証明した.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

研究実績の概要記載のBernstein型の定理の拡張に関する研究に加え,ミンコフスキー空間内の極大曲面とユークリッド空間内の極小曲面の双対性の研究が順調に進展したことで,未解決だった極大曲面上の光的線分に関する鏡像の原理の仕組みが解明されるなど,当初の計画以上の成果が得られたため.

Strategy for Future Research Activity

前年度の研究成果を踏まえ,ともに正定値計量を持った平均曲率零曲面である極大曲面と極小曲面の双対性に関する研究をさらに推進する.その一方で,不定値計量を持った時間的極小曲面についても,様々な特異点の出現や判定法に関する考察を進め,論文として取り纏める.

Causes of Carryover

出張は概ね当初の計画通り行ったが,旅費を当該研究費より支出する機会が少なかったこと,および当初予定していたパソコン類の購入を次年度以降に行うこととしたため次年度使用額が生じた.翌年度分として請求した助成金と合わせた使用計画としては,前年度に購入しなかったものも含めた物品の購入を行うほか,予定している出張に関しては旅費の支出をできるだけ当該研究費より支出する.

  • Research Products

    (13 results)

All 2020 2019

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results,  Open Access: 1 results) Presentation (10 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 4 results)

  • [Journal Article] Analysis of timelike Thomsen surfaces2020

    • Author(s)
      S. Akamine, J. Cho and Y. Ogata
    • Journal Title

      The Journal of Geometric Analysis volume

      Volume: 30 Pages: 731~761

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s12220-019-00166-7

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Improvement of the Bernstein-type theorem for space-like zero mean curvature graphs in Lorentz-Minkowski space using fluid mechanical duality2020

    • Author(s)
      Akamine S.、Umehara M.、Yamada K.
    • Journal Title

      Proceedings of the American Mathematical Society, Series B

      Volume: 7 Pages: 17~27

    • DOI

      https://doi.org/10.1090/bproc/44

    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Journal Article] Bernstein-type theorem for zero mean curvature hypersurfaces without time-like points in Lorentz-Minkowski space2020

    • Author(s)
      S. Akamine, A. Honda, M. Umehara and K. Yamada
    • Journal Title

      Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series

      Volume: 先行電子出版 Pages: 1~7

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s00574-020-00196-8

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Duality of boundary value problems for minimal and maximal surfaces2020

    • Author(s)
      赤嶺新太郎
    • Organizer
      東工大幾何セミナー
  • [Presentation] 極大曲面に対する光的境界値問題について2020

    • Author(s)
      赤嶺新太郎
    • Organizer
      淡路島幾何学研究集会2020
  • [Presentation] Duality of boundary value problems for minimal and maximal surfaces2020

    • Author(s)
      S. Akamine
    • Organizer
      Workshop and School on Geometric Analysis and Discrete Geometry, Korea Institute for advanced Study (KIAS)
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Bernstein-type theorem for zero mean curvature hypersurfaces admitting lightlike points2020

    • Author(s)
      S. Akamine
    • Organizer
      The closing workshop of the project “Geometric Shape Generation”
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 光的点を許容する平均曲率零超曲面に対するBernstein型定理2020

    • Author(s)
      赤嶺新太郎,本田淳史,梅原雅顕,山田光太郎
    • Organizer
      日本数学会2020年度年
  • [Presentation] 平均曲率零曲面上の光的点について2019

    • Author(s)
      赤嶺新太郎
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型)「部分多様体論の諸相と他分野との融合」
  • [Presentation] 平均曲率零曲面上の光的点について2019

    • Author(s)
      赤嶺新太郎
    • Organizer
      第66回幾何学シンポジウム
    • Invited
  • [Presentation] Duality of boundary value problems for minimal and maximal surfaces2019

    • Author(s)
      S. Akamine
    • Organizer
      Geometry Seminar, Vienna University of Technology (Austria)
  • [Presentation] 極小曲面と極大曲面に対する境界値問題の双対性2019

    • Author(s)
      赤嶺新太郎
    • Organizer
      部分多様体論・湯沢2019
    • Invited
  • [Presentation] Fluid Mechanical Duality for Minimal Surfaces in Euclidean Space and Maximal Surfaces in Spacetime (poster presentation)2019

    • Author(s)
      S. Akamine
    • Organizer
      MATERIALS RESEARCH MEETING 2019
    • Int'l Joint Research

URL: 

Published: 2021-01-27  

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