2021 Fiscal Year Research-status Report
平均曲率零曲面の諸理論の統合と計量の符号数に応じた幾何学的性質の探求
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19K14527
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
赤嶺 新太郎 日本大学, 生物資源科学部, 助教 (50825148)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 光的超曲面 / 特異点 / 光的波面 / L-完備性 / 極小曲面 / 極大曲面 / isotropic空間 / Krust型定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は主に平坦な空間内の平均曲率零曲面や光的超曲面に関する下記の研究を行った．
1. 前年度までに本田淳史氏（横浜国立大学），梅原雅顕氏（東京工業大学），山田光太郎氏（東京工業大学）との共同研究で「ナル・エネルギー条件を持つローレンツ多様体内で光的完備な光的超曲面は全測地的なものに限る」ことを証明し，なめらかな光的超曲面に対する大域的な性質を研究した．
この研究成果を踏まえ，本田氏，梅原氏，山田氏とともに一般次元のミンコフスキー空間内の光的超曲面を特異点を含めた枠組みで考察した．具体的には特異点を持つ光的超曲面のクラスとして光的波面と呼ばれる対象を導入し，その考察を行った．光的波面が光的直線全体からなる線織面として記述される場合をL-完備と呼び，L-完備な光的波面はすべて一次元低いユークリッド空間内の波面の平行曲面族として得られるという光的波面の基本定理と呼ぶべき結果を得た．その応用として，一般に実解析性またはある種のジェネリックな性質を備えた光的波面は，あるL-完備な光的波面の制限になっているという構造定理を示した．また，完備な光的波面と呼ばれるクラスを導入し，その分類・決定を行った．
2. 藤野弘基氏（名古屋大学）と3次元ユークリッド空間内の極小曲面と3次元ミンコフスキー時空内の極大曲面，および3次元isotropic空間内の空間的平均曲率零曲面などの様々な平坦空間内における平均曲率零曲面を滑らかにつなぐ変形族を考案し，それらの空間内での等長変形族（同伴族），Lopez-Ros変形，Calabi対応を含めた3径数の変形族を導入した．さらに，それらの曲面の変形族を調和関数論を用いて統一的に扱う方法を明らかにし，「曲面がある関数のグラフとして表される」というグラフ性が曲面の変形に対して保存される統一的な条件を与えた．また，その結果を論文として投稿し，掲載が受理された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2021年度も前年度に引き続き，新型コロナウイルスの流行により，予定していた出張が中止になるなどの進捗上の影響が一部あったが，光的波面の大域的な構造に関する結果が得られたため．また，平均曲率零曲面の諸理論の統合を目的とした本研究において，調和関数論の最新の進展などを用いることで，複数の平坦空間内での曲面を統一的に扱い，異なる幾何学的対象に共通した性質を見出す方法が明らかになりつつあるため．
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度が予定している最終年度であるため，未発表の結果を論文として取り纏めることを目標に研究を推進する．また，今年度まで研究を進めていく上で生じた発展的な課題などについても取り纏めつつ，新たな研究の方向性や更なる発展を模索しつつ，研究を推進する．
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| Causes of Carryover |
共同研究の打ち合わせや研究集会への出席などの予定していた出張が新型コロナウィルスの影響で中止になったため，次年度使用額が生じた．次年度の使用計画としては，感染症拡大の状況を鑑みつつ，名古屋大学の藤野氏を始めとした共同研究者との打ち合わせを行うため，および日本数学会などの学会や研究集会へ出席するための旅費として主に使用することを計画している．
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