2019 Fiscal Year Research-status Report
Clifford-Klein forms and Dolbeault cohomology
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19K14529
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森田 陽介 京都大学, 理学研究科, 助教 (70804318)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 幾何学 / 固有な作用 / 等質空間 / Clifford-Klein形 / K理論・KO理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
群作用・固有性・コホモロジーに関連する幾何学を研究した。
(1) Lie 群 G の離散部分群 Γ が等質空間 G/H に固有かつ自由に作用するとき、商空間には G/H を局所的なモデルとする多様体の構造が自然に定まる。このようにして得られる多様体を Clifford-Klein 形という。素性の良い幾何構造を持つ多様体は、しばしば Clifford-Klein 形の言葉を用いて記述できる。
今年度の研究で、半単純対称空間がコンパクトな Clifford-Klein 形を持つための新たな必要条件を得た（Fanny Kassel 氏、Nicolas Tholozan 氏との共同研究）。応用として、例えば SO(n+1, C)/SO(n, C) がコンパクトな Clifford-Klein 形を持つことは n = 0,1,3, or 7 と同値であるとわかった。現在、さらに多くの例を得るために計算を進めている。
小林俊行氏と吉野太郎氏による研究以降、コンパクト Clifford-Klein 形の存在問題は何らかの形で KO 理論と関係しているであろうと漠然と予想されていたが、我々の得た必要条件は（Adams 予想を用いると）まさに KO 理論の言葉を使って述べることができる。
(2) ある種のピンポン補題を用いて自由群よりも複雑な離散群の表現を構成する方法について検討した（Fanny Kassel 氏との共同研究）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
(1) は本研究を始めた際には全く想定していなかった結果である。現在具体例での計算を進めている最中だが、現在までに計算の終わった例を見る限り、今回得られた必要条件は（これまでに知られているものと比べて）極めて強力であると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究を始めた時点では、Dolbeault コホモロジーを用いてコンパクト Clifford-Klein 形の存在問題を探究する予定であった。しかし、現在進めている Kassel・Tholozan 両氏との共同研究のほうが有力なアプローチであると思われるので、研究計画を変更してこちらに力を注ぐことにしたい。そのためには代数トポロジーの高度な知識を習得しなくてはならない（fibrewise ホモトピー論、KO 理論、Adams 作用素など）。場合によっては代数トポロジーの専門家の助力を仰ぐことも検討する。
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| Causes of Carryover |
2020年の1・2月にフランスに3週間出張したが、幸いにも滞在費を先方に負担していただくことになったため、科研費からは航空券代と海外旅行保険代を支出するのみで済んだ。そのため予算に余裕ができて、次年度使用額が生じた。
新型コロナウイルス感染症（COVID-19）が世界中で大流行し、対面での研究討論やセミナー・集会への参加ができなくなってしまったので、今年度繰り越した科研費を使って iPad Pro を購入し、オンラインでの研究活動に利用する。
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