2019 Fiscal Year Research-status Report
Deformation of hyperbolic structures and geometry of non-discrete representations
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19K14530
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
吉田 建一 埼玉大学, 理工学研究科, 研究員 (70793371)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 双曲的デーン手術 / 通約類 / 双曲錐構造 / トーラス上の絡み目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限体積3次元双曲多様体にはモストフ剛性があり、位相から等長類が決まる。しかし、完備でない構造によって変形できる場合がある。
本研究では、完備でない双曲構造の変形に基づいて、3次元多様体の基本群の表現空間を幾何学的に考察している。錐多様体の連続変形による双曲的デーン手術の実現が代表的な例であるが、さらなる一般化を目指す。
本年度の研究実績は以下の通りである。
(1) 個々の3次元双曲多様体を点とする空間の位相が双曲的デーン手術により定まる。この空間について有限被覆との関係から考察した。結果として、有限被覆による通約類をとったときの商位相が正規ハウスドルフであることを示した。これにより、各通約類が3次元双曲多様体全体の空間の中である程度まばらに分布しているといえる。
(2) 3次元双曲錐多様体の変形を考察した。3次元双曲錐多様体の大域的な剛性は錐角がπ以下の場合に知られていて、このことは錐角を0まで減少させる変形が存在することにより証明される。しかし、錐角がπと2πの間にある場合に、錐角が減少するにも関わらず退化する例を得た。この例は、トーラスと直線の直積内の交代絡み目から得られる。双曲錐構造はある多面体の貼り合わせによって具体的に構成でき、その双曲的な多面体の等長類を決定することに帰着できる。また、退化は特異集合が交わることによって起こる。具体的な記述こそ初めてのものだが、錐角減少変形での退化は特殊な現象ではないと考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
双曲錐構造について良い例が得られた。この例は双曲錐構造の退化まで含めて具体的に記述できているので、一般論へのヒントとなりうる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度得られたような具体例を手掛かりにして、双曲錐構造の変形の一般的な性質について考察する。とくに、双曲錐構造の剛性についての結果を得ることを目標とする。
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