2020 Fiscal Year Research-status Report
一般化された測度距離空間上の曲率次元条件と測度集中
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19K14532
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| Research Institution | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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Principal Investigator |
小澤 龍ノ介 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 講師 (80838110)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 測度距離空間 / 最適輸送理論 / リッチ曲率 / 有向グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は直径1以下の測度距離空間の列の超積上の曲率次元条件に関する研究を行なった。曲率次元条件とは測度距離空間におけるリッチ曲率が下から押さえられているという概念であり、相対エントロピーとWasserstein距離を用いて定義される。超積上の確率測度とその相対エントロピーに対して、列の測度距離空間上に適切な確率測度を構成しその相対エントロピーが超積上で与えられていた相対エントロピーに収束することを示した。また超積上のWasserstein空間に関しても考察を始めた。
上記の研究と並行し、櫻井陽平氏(東北大)・山田大貴氏(地球研)と共に前年度の研究で導入した辺重みを持つ有向グラフにおけるLin-Lu-Yau型のリッチ曲率について以下の2つを示した。(1) リーマン幾何学におけるChengの最大直径定理に相当する主張を示した。つまりリッチ曲率K以上の有向グラフの直径が2/Kとなるとき、全ての頂点は直径を実現する2つの頂点の間の最短経路上にあるという主張を示した。(2) 有向グラフのリッチ曲率が下から押さえられていることと、熱流に関する勾配評価、熱流に関する収縮性が互いに同値であることを示した。応用として有向グラフ上の1-Lipschitz関数に対する測度集中不等式を得た。これらの結果は2本の論文としてまとめ投稿中である。
また前年度に投稿していた論文が出版された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
超積上の確率測度を列の測度距離空間上で近似した際にWasserstein距離の収束を調べる必要があるが、超積上のWasserstein空間に関しては不明なことが多く時間がかかるため。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は本年度同様直径1以下の測度距離空間の列の超積上の曲率次元条件について調べる。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症により出張予定の研究集会が全てオンライン開催へと変更になったため。
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