Curvature-dimension condition and measure concentration on generalized metric measure spaces

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K14532
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) (2020-2022); Tohoku University (2019)
• Principal Investigator: Ozawa Ryunosuke 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 講師 (80838110)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 測度距離空間 / グラフ / 曲率次元条件 / リッチ曲率

Outline of Final Research Achievements

Based on equivalent conditions of lower Ricci curvature bound, the curvature-dimension condition on metric measure spaces and graphs and Lin--Lu--Yau type Ricci curvature on undirected graphs are introduced and investigated. In our study, we have following result. (1) We prove that the projective limit of sequence of metric measure spaces satisfying curvature-dimension condition also satisfies the curvature-dimension condition. (2) We generalize Lin--Lu--Yau type Ricci curvature for directed graphs and investigate the comparison geometry of directed graphs. (3) We have equivalent condition of exponential and ψ-curvature-dimension condition for graphs via gradient estimate of heat flow. We also generalize these curvature-dimension conditions to super Ricci flow.

Free Research Field

測度距離空間とグラフにおける幾何解析・比較幾何

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

本研究課題における測度距離空間はリーマン多様体の一般化であり、近年では相対性理論で用いられるローレンツ多様体の一般化になるようなローレンツ的測地空間に測度を考えた空間が導入され、このような空間上での曲率次元条件が研究されている。本研究における空間列の極限が元の空間と同じ性質を満たすかどうかは、我々が住む空間の根本を理解する上での手掛かりになると考えられる。また無向グラフ上の曲率はネットワーク解析などへの応用が期待され、本研究における有向グラフ上のリッチ曲率は情報形のみならず更に他の分野への応用も期待される。