2019 Fiscal Year Research-status Report
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19K14536
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
松下 尚弘 琉球大学, 理学部, 助教 (30812292)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 彩色問題 / Hedetniemi 予想 / Z/2-指数 / 幽霊写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
CW-複体の間の写像 f: X → Y が幽霊写像であるとは、 f を X の任意の n-骨格に制限するとヌルホモトピックになるものである。相対的幽霊写像とは幽霊写像を次のように一般化したものであった： X を CW-複体、 p:B → Y を写像とする。写像 f: X → Y が相対的幽霊写像であるとは、任意の n に対し、 f の n-骨格への制限が B を経由することをいう。
本年度の相対的幽霊写像に関する研究について述べる。位相空間 Y に対し、「 Y への幽霊写像が存在しないこと」と「 Eilenberg-Maclane 空間の直積から Y への有理ホモトピー同値が存在すること」が同値であることが知られている。この定理の十分性は、連続写像 p: Y → Y' が有理ホモトピー群の間に全射を誘導するとき幽霊写像のホモトピー類全体の集合の間に誘導する写像 Ph(X,Y) → Ph(X, Y') も全射であることからわかる。そして本年度の研究によって、この幽霊写像のホモトピー類の間の全射性に関する結果を、満足できる程度に弱い条件を課すことで相対的幽霊写像の場合に一般化することができた。
積の Z/2-指数に関する研究について述べる。空間 X の Z/2-指数とは X から S^n への Z/2-写像が存在するような最小の n のことである。このとき ind(X x Y) = min {ind(X), ind(Y)} を満たさない X と Y を構成すれば、 Hedetniemi 予想を否定的に解決できることを以前示したが、2019年に Hedetniemi 予想は組合せ論的に反例を直接に与えられた。そのため昨年度は研究方針を模索しなおしていたが、昨年の研究の成果として、 X = S^{2m}, Y = RP^{2n-1} のとき、 ind(X x Y) = min {ind(X), ind(Y)} を示すことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
相対的幽霊写像に関しては順調に進んでいる。 Z/2-指数に関しては、 Hedetniemi 予想が解決されたので、思いの外進んだといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず写像の圏における幽霊写像を考える。これはCW-対の場合において考えると、空間対の間の写像 f : (X, A) → (Y, B) であって、任意の n に対し f の n-骨格への制限を考えたとき、それが空間対の写像としてヌルホモトピックになっているもののことである。これは (X, A) から (Y, B) への相対的幽霊写像の特別な場合になっている。この写像の圏の幽霊写像に関する研究を推進し、この有理ホモトピーとの関係を調べる。写像の圏の幽霊写像は、通常の幽霊写像の場合と同様に代数的な表現を持つことがわかるので、通常の幽霊写像の一般化ができると思われる。本年度はこの研究を下に、 McGibbon-Roitberg の有理ホモトピーと幽霊写像との定理を相対的幽霊写像の場合に一般化することを考える。
Hedetniemi 予想は解決されたものの ind(X x Y) = min {ind(X), ind(Y)} が成り立つか否かという問題は変換群論の問題として重要であると思われるので、積のZ/2-指数に関する研究も引き続き行うことにする。 Z/2-指数が分類写像の LS-カテゴリーと同一視されることと、 LS-カテゴリーと積とは余り相性が良くないことから、 LS-カテゴリーに関する勉強をし、そこから ind(X x Y) = min {ind(X), ind(Y)}の反例構成の糸口を掴みたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスによるパンデミックの影響で、３月の出張がキャンセルになったため、次年度使用額が生じた。本年度は物品の購入などに研究費を充てることで、使用額の繰り越しが起こらないように運用していきたい。
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